Полупрямое произведение групп

[arseniiv]

Является ли группа кватернионных единиц чьим-то полупрямым произведением? Не очень разобрался в терминах, но разберусь, скорее всего, если услышу утвердительный ответ и множители. Подозреваю что-то, а понять не могу...

(Я имею в виду группу порядка 8, порождённую соотношениями $i^4 = j^4 = (ij)^4 = e$, а обозначение забыл снова.)

[arseniiv]

Ау...

[Padawan]

$A$ полупрямое произведение $B$ на $C$, если $B$ - нормальная подгруппа $A$ и $A/B=C$ ?

[arseniiv]

О последнем не знаю. Видел в Википедии определение через действие группы, а в нём ещё не разбрался.

[Padawan]

Вот определение из Математической энциклопедии

То, что я написал - это расширение группы $B$ с помощью группы $C$.

[arseniiv]

Кажется, я начинаю понимать. Осталось найти правильное действие и узнать порядок умножения $\{1,\ -1\} \sim {\mathbb{Z}_2}$ и $\{1,\ i,\ j,\ ij\} \sim {\mathbb{Z}_2^2}$. Если представить элементы нашей группы парами, элементы которых берутся из указанных выше групп, тогда отличиями такой группы от прямого произведения этих групп будут вот эти произведения элементов:
$(a,\ i) \cdot (b,\ i) = (a,\ j) \cdot (b,\ j) = (-ab,\ 1)$
$(a,\ i) \cdot (b,\ j) = (ab,\ ij)$
$(a,\ j) \cdot (b,\ i) = (-ab,\ ij)$
Осталось найти нужное действие $\mathbb Z_2^2$ на $\mathbb Z_2$, если я правильно угадал порядок умножения и если оно вообще существует.

P. S. Пока строчил свой ужас, вы написали. Сейчас посмотрю.

P. P. S. У меня голова не работает сейчас, и не могу понять, как возможно произведение вида $aba^{-1}$, если $a$ и $b$ из разных групп?

-- Пн май 10, 2010 22:31:15 --

Как жаль, что по специальности мне теорию групп не преподадут (или мне так кажется). Хочется всё готовым получить...

-- Пн май 10, 2010 23:01:38 --

Похоже, я своими ахинеями в предыдущем сообщении всех распугал...

[Xaositect]

Хмм.
Если мне не изменяет память, все подгруппы в группе $Q_8$ нормальны, так что любое произведение ее подгрупп будет прямым.

[arseniiv]

Каких?

Кстати, прямое произведение абелевых групп ведь всегда коммутативно? Тогда такого для $Q_8$ я не вижу.

[Xaositect]

А я и не сказал, что она представляется в виде прямого произведения :)

Посмотрите в той же английской википедии секцию про эквивалентные определения и докажите, что $Q_8$ в виде полупрямого произведения не представляется.

[arseniiv]

Ага. Я понял уже. Спасибо! Просто у меня вчера голова не работала совсем. Правда, строгого доказательства я избёг и ещё утром пытался накомбинировать нужное действие одной подгруппы на другую и пришёл к выводу, что не получается. А есть какое-нибудь обобщение, в свою очередь, полупрямого произведения? Наверно, это упомянутое Padawanом расширение. Только там вместо сопоставления элементам одной группы автоморфизмов другой группы будет сопоставление, например, парам элементов (если это разрешить, то так можно будет описать $Q_8$)?

Вообще, я никак себя не заставлю попрактиковаться в группах. Тогда и термины наконец усвою точно самые простые, и смогу быстро сообразить, что куда в более сложных конструкциях...

[Padawan]

Курош Теория групп хорошая книга. Хоть и старая.

[arseniiv]

Посмотрю.

[Yakov]

Padawan в сообщении #317717 писал(а):

$A$ полупрямое произведение $B$ на $C$, если $B$ - нормальная подгруппа $A$ и $A/B=C$ ?

Конечно, нет. Возьмите, например, $A = \mathbb{Z}$, $B = 2 \mathbb{Z}$,
$C = A / B = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

[Kallikanzarid]

Padawan в сообщении #317717 писал(а):

$A$ полупрямое произведение $B$ на $C$, если $B$ - нормальная подгруппа $A$ и $A/B=C$ ?

Нет. Вот хорошая статья: www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grou ... tinggp.pdf

[Azog]

Про полупрямые произведения у Винберга в "Курс высшей алгебры" хорошо написано. Про всякие свободные произведения, HNN-расширения и прочее, можно почитать книжку Линдон Шупп "Комбинаторная теория групп". Книга Куроша тоже хороша. Можно, также, книгу Холла "Теория групп" порекомендовать.