Дифференциальные уравнения

[Nogin Anton]

Здравствуйте! Поздравляю всех с Днём Победы!
Подскажите пожалуйста с уравнением:

$\frac{y'}{e^{2x}}-\frac{y}{1+e^x}=0$

$\frac{dy}{dx}\cdot \frac{1}{e^{2x}}=\frac{y}{1+e^x}$

$\int \frac{dy}{y}=\int \frac{e^{2x}}{1+e^x}dx$

$ln|y|=..$

Большое спасибо!

[ewert]

Большое пожалуйста, внесите экспоненту под знак дифференциала.

[Nogin Anton]

То есть $d(1+e^x)=e^xdx$?

[ewert]

типа да. Теперь просто аккуратно оформите замену переменной, которая у Вас тут выплыла.

[Nogin Anton]

Вот так получается:

Замена $e^x=t$; $e^{2x}=t^2$; $x=lnt$; $dx=\frac{dt}{t}$

$\int \frac{dy}{y}=\int \frac{e^{2x}}{1+e^x}dx$

$ln|y|=\int \frac{t^2}{1+t}\cdot \frac{1}{t}dt$

$ln|y|=\int \frac{t}{1+t}dt$

$ln|y|=\int \frac{t+1}{t+1}dt-\int \frac{dt}{1+t}$

$ln|y|=t-ln|1+t|+lnC$

$ln|y|=e^x-ln|1+e^x|+lnC$ - общее решение ДУ

[Alexey1]

Это ещё не решение, так как надо решить относительно $y$.

[Nogin Anton]

Ну так это общее решение

[Alexey1]

Посмотрите здесь. Хотя иногда решения уравнений получаются заданными неявно, например $\frac{dy}{dx}=\frac{6x^2}{2y+\cos(y)}$, решение которого задано неявно $y^2+\sin(y)=2x^3+C$. Для Вашего примера не составляет трудностей решить относительно $y$.

[Nogin Anton]

$lnln|y|=x-lnln|1+e^x|+lnlnC$?

[Alexey1]

Берите экспоненту от обеих частей равенства, а затем раскрывайте модуль.

[Nogin Anton]

Это значит нужно $e^{...}=e^{...}$?

[Alexey1]

Получается $e^{\ln|y|}=e^{e^x-\ln(1+e^x)+\ln C$ или используя свойства натурального логарифма $e^{\ln(x)}=x, x>0$ получаем $|y|=C\frac{e^{e^x}}{1+e^x}$ или $y=K\frac{e^{e^x}}{1+e^x}, K \in \mathbb R \backslash \{0\}$.
Здесь есть одно существенное замечание. В Вашем первом сообщении Вы делите на $y$, что можно делать только если $y \neq 0$ (то есть это надо указать). Заметив, что функция тождественно равная нулю тоже является решением уравнения и что решение с заданными начальными условиями единственно, получаете окончательное решение уравнения $y=K\frac{e^{e^x}}{1+e^x}, K \in \mathbb R$.

[Nogin Anton]

Ага, понял, спасибо!
Посмотрите пожалуйста такой:

y'=\frac{1}{cos(y-x-1)}

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{cos(y-x-1)}

cos(y-x-1)dy=dx

Замена $u=y-x-1$

$y=u+x+1$

$y'=u'+1$

$u'+1=\frac{1}{cosu}$

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{cosu}-1$

$\frac{du}{dx}=\frac{1-cosu}{cosu}$

$\int \frac{cosu}{1-cosu}du=\int dx$

-\int \frac{cosu-1+1}{cosu-1}du=\int dx

-\int du -\int \frac{du}{cosu -1}=x

-u -\int \frac{du}{cosu-1}=x

x+u=-\int \frac{du}{cosu-1}

После универсальной подстановки

x+u=-2\int \frac{dt}{1+t^2}:(\frac{1-t^2}{1+t^2}-\frac{1+t^2}{1+t^2})

x+u=\int \frac{2dt}{1+t^2}\cdot \frac{1+t^2}{2t^2}

$x+u=-\frac1t +C$

$x+u=-ctg(\frac u2)+C$

$x+y-x-1=-ctg \frac{(y-x-1)}{2}+C$

$y-1+ctg\frac{(y-x-1)}{2} =C$ -Общее решение дифференциального уравнения.

Большое спасибо!

[Alexey1]

Ответ правильный, только лучше его записать как $y+\ctg\Big(\frac{y-x-1}{2}\Big)=C$.

[AKM]

Nogin Anton,

Здесь рассказано, как набирать формулы.

Их надо окружать долларами (а [mаth] добавится автоматически).
И тогда Ваше y'=\frac{1}{cos(y-x-1)} превратится в $y'=\frac{1}{\cos(y-x-1)}$.

И тогда Ваше [mаth]y'=\frac{1}{cos(y-x-1)}[/mаth] превратится в $y'=\frac{1}{\cos(y-x-1)}$.

(Я ещё перед косинусом палочку впарил).