Вопрос по ТФКП

[SSV]

Найти все дифференцируемые функции, у которых вдоль любой линии семейства $r\sin(\phi)=c $ сохраняет значение $Im f(z)$. все такие функции я нашёл, но возник вопрос: любую ли сколь угдно гладкую функцию(имеются и непрерывны производные любого порядка) можно подставить вместо $r\sin(\phi) $ ?

[INDIGO1991]

Подставить можно, но функции удовлетворяющии искомой задаче может не существовать.

вроди вокруг $r \varphi$ не найдется такой функции

[paha]

Давайте сформулируем так: на комплексной плоскости задано векторное поле $\xi=a\partial_x+b\partial_{y}$ (любое семейство линий порождает такое векторное поле -- это поле касательных к кривым семейства); найти все дифференцируемые функции $f=u+iv$, для которых $\xi v=av'_x+bv'_y=0$. Добавляете сюда соотношения Коши-Римана и вперед:)