С5 - уравнение

[sportsman5500]

$x^6 - (|4x+3|)^3 = 25\cos(x^2) - 25\cos(4x+3)$

-- Сб май 08, 2010 19:03:00 --

Я даже незнаю с чего начать,с косинуса или модуля,,
пробовал графически, правда через прогу строил..

[meduza]

Попробуйте замену $x^2=u>0$, $4x+3=v$ (из-за модуля придётся рассмотреть два случая). Одно решение сразу видно. Нужно лишь доказать, что больше нет.

[sportsman5500]

решение когда u=v да?

-- Сб май 08, 2010 19:33:18 --

я преобразовал
и получмл $(u - |v|)*(u^2 + u*(|v|) +v^2)$

-- Сб май 08, 2010 19:36:02 --

справа преобразовал как разность косинусов, теперь когда обе части равны нулю?
или будут еще решения?

[meduza]

sportsman5500 в сообщении #316888 писал(а):

решение когда u=v да?

Да, одно из них. От модуля сразу избавляться надо, ветвлением на два случая: $v\geqslant 0$, $v<0$.

[ewert]

От ветвления надо отказываться на самый последок -- ведь под косинусом-то стоит фактически тоже модуль.

[meduza]

ewert
Да, так проще, действительно.

[sportsman5500]

получилось при v больше либо равно нулю,$x = 1 + \sqrt[2] 7$ ,
а при v<0 x=-1 и x=-3.

[meduza]

sportsman5500 в сообщении #316907 писал(а):

$x = 1 + \sqrt[2] 7$

Разве? Да и плюс-минус там должен быть.

[sportsman5500]

точно $x = 2+\sqrt[2] 7$

[meduza]

meduza в сообщении #316910 писал(а):

Да и плюс-минус там должен быть.

И вообще говоря, надо как-то обосновать, что других корней нет. А вдруг есть?

[sportsman5500]

да, да +-, чет я ступил))

-- Сб май 08, 2010 20:21:04 --

нет, других точно нет, по графику видно(сторил через прогу).

-- Сб май 08, 2010 20:26:11 --

а как доказать незнаю , пробовал производную искать, а толку от нее ноль

[meduza]

Не знаю как проще всего. Но можно так. У Вас там есть уравнение $u^3-25\cos u=v^3-25\cos v,\ u\geqslant 0,\ v=|4x+3|\geqslant 0$. Нужно показать, что кроме $u=v$ решений нет, то есть функция $f(t)=t^3-25\cos t$ в области положительных $t$ должна строго возрастать (не будет такого значения функции, которое будут давать разные $t$). А вот это уже доказывается через производную. можно и без неё.