Последовательность простых чисел.

[Руст]

Некоторая последовательность простых чисел удовлетворяет условию:
$p_{n+1}=2p_n\pm 1$.
Докажите, что эта последовательность конечна.

[Brukvalub]

Нетрудно доказать, что если хотя бы в одном члене приведенной Вами формулы возникнет знак +, то и все дальнейшие знаки должны быть +, значит, начиная с некоторого места, все знаки постоянны (или все они +, или все они -). Теперь легко найти замкнутую формулу, генерирующую подобные последовательности (возможны лишь две таких формулы).

[maxal]

Рассматривая рекуррентное соотношение по модулю 3, получаем, что все знаки (за исключением, возможно, самого первого) одинаковые.
Для соотношения $p_{n+1}=2p_n + 1$ получаем формулу $p_n = 2^n p_0 + 2^n - 1$. При этом для любого простого $p_0>2$ найдется такое $m$, что $p_0\mid 2^m-1$ и поэтому $p_m$ не будет простым. Для соотношения $p_{n+1}=2p_n - 1$ аналогично.

[juna]

Для $p_{n+1}=2p_n+1$ вопрос сводится к тому, что существует такое простое число $p_1$, что для любого $k$ число $2^k(p_1+1)-1$ - простое (слишком фантастическое утверждение).
Ой, меня опередили.