Обобщение Si(+oo)

[maxal]

При натуральном $n$ значение интеграла

$$\int_0^{\infty} \left(\frac{\sin x}x\right)^n dx$$

является рациональным кратным числа $\pi$. Вычислите его в явном виде как функцию от $n$.

[Руст]

Подставляем $sinx=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}$ и интеграл вычисляем как вычет в 0 (в бесконечной полуокружности интеграл для каждой части равен нулю. Это дает

$$I_n=\pi r_n, r_n=\frac{1}{2^{n-1}(n-1)!}\sum_{0\le k<n/2}\binom{n}{k}(n-2k)^{n-1}.$$

Вроде можно найти более компактную форму записи, но в условии нет этого требования.

[maxal]

Увы, не сходится. Вот первые 10 значений для проверки:

$$\frac12, \frac12, \frac38, \frac13, \frac{115}{384}, \frac{11}{40}, \frac{5887}{23040}, \frac{151}{630}, \frac{259723}{1146880}, \frac{15619}{72576}$$

[Полосин]

Согласно справочнику, $\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{\sin^nx}{x^n}dx=\dfrac{2^{-n}\pi}{(n-1)!}\sum\limits_{j=0}^{[(n-1)/2]}}(-1)^j\dfrac{n!(n-2j)^{n-1}}{j!(n-j)!}$.

[Руст]

Да забыл коэффициент 1/2 (так как всего половина интеграла от минус бесконечности до плюс бесконечности. К тому же из того, что $sinx=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)$ сумма внутри должна быть знакочередующийся. При этом еще требуется общий знак делать положительнымб т.е.

$$r_n=|\frac{1}{2^n(n-1)!}\sum_{0\le k<n/2}\binom{n}{k}(-1)^k(n-2k)^{n-1}|.$$

[maxal]

Вот свежая статейка http://arxiv.org/abs/1004.2653 на тему вычисления интегралов вида

$$\int_0^{\infty} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{2n} f(\sin x)\ dx.$$

-- Fri May 07, 2010 11:21:33 --

Руст в сообщении #316686 писал(а):

При этом еще требуется общий знак делать положительным

Это уже излишне, он и так будет всегда положительным.