Мощность множества рациональных чисел

[caxap]

1) Рац. число -- это отношение двух целых. Т. е. $|\mathbb Q|=|\mathbb Z\times\mathbb Z|=|\mathbb N|$ -- мощность счётного множества. Это верное доказательство? Или я опять что-то накосячил? Если так, то получается, что мощность иррациональных должна быть равна континууму. Т. е. иррациональных чисел "больше" рациональных?

2) С другой стороны (это не доказательство, а домыслы): между двумя рац. числами, как бы близко мы их не взяли, найдётся третье, между ними. Т. е. так жу как и в действительных числах. Не значит ли это, что $|\mathbb Q|=|\mathbb R|$? Тогда получается, что мощность иррациональных числе может быть счётна.

Прошу найти ошибки, пожалуйста.

[id]

Цитата:

2) С другой стороны (это не доказательство, а домыслы): между двумя рац. числами, как бы близко мы их не взяли, найдётся третье, между ними. Т. е. так жу как и в действительных числах. Не значит ли это, что $|\mathbb Q|=|\mathbb R|$?

Не значит. С чего бы оно было так?

[ИСН]

Первое - да, если Вы знаете, откуда берётся это равенство. (Впрочем, если и не знаете, то всё равно.)
А домыслы - это всего лишь домыслы. "60 делится на 1, 2, 3, 4, 5, 6 - наверное, 60 делится на все числа."

[caxap]

id в сообщении #315965 писал(а):

Не значит. С чего бы оно было так?

Угу. А если так: между двумя любыми рац. числами есть иррациональное, между двумя любыми иррациональными есть рациональное. Интуитивно кажестся, что они "сплошняком" заполняют всю чисовую ось, как бы "чередуясь". Не уравнивает ли это их мощности. (Я знаю, что нет. Но хочется объяснения, почему интуиция тут даёт сбои).

[id]

Потому что отображение множества пар иррациональных чисел в рациональные (когда для каждой пары иррациональных ставится в соответствие рациональное между ними) не будет инъективным.

Понятие "сплошняком" заполнеет нематематическое. Да, оба множества будут всюду плотными. Но ничего про мощности отсюда не следует (кроме того, что оба бесконечны).

[ewert]

caxap в сообщении #315964 писал(а):

1) Рац. число -- это отношение двух целых. Т. е. $|\mathbb Q|=|\mathbb Z\times\mathbb Z|=|\mathbb N|$ -- мощность счётного множества.

Это, кстати, не совсем верное рассуждение. Во-первых, $\mathbb Q$ -- это не $\mathbb Z\times\mathbb Z$, а $\mathbb Z\times\mathbb N$. Во-вторых, даже не само $\mathbb Z\times\mathbb N$, а его подмножество.

[caxap]

ewert в сообщении #316053 писал(а):

Это, кстати, не совсем верное рассуждение. Во-первых, $\mathbb Q$ -- это не $\mathbb Z\times\mathbb Z$, а $\mathbb Z\times\mathbb N$. Во-вторых, даже не само $\mathbb Z\times\mathbb N$, а его подмножество.

А какая принципиальная разница? Ведь $|\mathbb Z|=|\mathbb N|$ и бесконечное подмножество счётного множества тоже счётно.

[ewert]

caxap в сообщении #316180 писал(а):

и бесконечное подмножество счётного множества тоже счётно.

вот это и следовало добавить. А так (раз уж рассуждение для начинающих) -- фокус не пройдёт.