Теорема Кантора

[caxap]

Есть теорема, что мощность множества всех подмножеств данного множества не равна мощности самого множества, т. е. $|\mathcal P(A)|\neq |A|$.

Я хочу доказать от противного. Т. е. предположим, что эти мощности равны. Тогда берём контрпример: $|\{1,2\}|=2,|\mathcal P\{1,2\}|=4$. Будет ли это доказательством теоремы? Я уверен, что нет. Тогда вопрос -- почему?

[ShMaxG]

Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств.

От противного вы должны предположить, что для некоторого множества выполнено равенство. Т.о. ваш "контрпример" ничего не доказывает.

[Alexey1]

Из Вашего контрпримера не следует отсутствие множества для которого теорема не верна. То есть для приведённого множества (контрпримера) теорема верна, а для других?

[caxap]

Alexey1 в сообщении #315921 писал(а):

Из Вашего контрпримера не следует отсутствие множества для которого теорема не верна.

Ох уж эти двойные отрицания... Всегда были трудности с их перевариванием, минут 5 думал над этой фразой... Слава богу второе ваше предложение все объяснило.
Спасибо, понял ошибку.

-- Ср май 05, 2010 18:50:19 --

А может кто-нибудь написать краткое доказательство теоремы, указанной в первом посте. (Более сильную, когда = меняется на > -- не надо). Я что-то не знаю, как ум приложить, вообще с абстрактными вещами туго.

[RIP]

Допустим, что $|A|=|\mathcal P(A)|$, т.е. существует биекция $f\colon A\to\mathcal P(A)$. Рассмотрим подмножество $B=\{a\in A\mid a\notin f(a)\}\in\mathcal P(A)$. Поскольку $f$ --- биекция, то $B=f(b)$ для некоторого $b\in A$. Если $b\in B$, то (по определению $B$) получаем $b\notin f(b)=B$, а если $b\notin B$, то $b\in f(b)=B$. Т.о., в обоих случаях приходим к противоречию, т.е. не выполняется ни одно из двух условий: $b\in B$, $b\notin B$. Так не бывает.

[caxap]

RIP
Спасибо.