научите находить пределы интегрирования

[Spektor]

Найти объем вращения

$$x=a\cos^3t$$

$$y=b\sin^3t$$

вокгруг оси оу я объем нашел а как находить пределы интегрирования?(при решении я их уже знал)

[arseniiv]

Раз вы вращаете вокруг $Oy$, найдите точки вида $\{0, y\}$, т. к. именно они и только они принадлежат ей, а нам надо найти пересечения кривой с этой прямой.

-- Пн май 03, 2010 00:50:13 --

Кстати, зачем пределы, если объём найден? Или найдено только подинтегральное выражение?..

[Spektor]

я для себя чтобы другой пример потом решить .эти точки и будут пределами?

[arseniiv]

Конечно. Вы чертили эту кривую (хотя бы примерно, у неё, конечно, непростой вид)? Тогда сразу все сомнения отпадут.

[Spektor]

астроида

-- Вс май 02, 2010 22:18:04 --

а если бы былo $r=a\sin2\varphi$ вокруг ох то тогда точки о,у?

[arseniiv]

Ну вот. Если закрасить какую-то из частей, на которые делится она нашей осью, а потом посмотреть, от какого и до какого $t$ точки астроиды, ограничивающие этот кусок... (т. к. $\cos$ и $\sin$ у нас "на месте", то при увеличении параметра мы движемся против часовой стрелки) ...то получим что надо! Хотя, в принципе, неважно учитывать порядок пределов интегрирования. Если объём или площадь, или что мы там будем находить, будут отрицательными, можно их переставить везде и с чистой совестью написать это со знаком $+$.

[Alexey1]

В Вашем случае кривые заданы периодическими функциями. Начните с $t=0$, тогда $x=a,y=0$. Теперь меняя $t$ заметьте, что максимальное значение $y$ достигается при $t=\frac{\pi}{2}$, а минимальное при $t=-\frac{\pi}{2}$. Таким образом, при $t\in \Big[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\Big]$, значения $y$ (неповторяясь) меняются от минимального до максимального значения.

[arseniiv]

Да-да, и на концах этого промежутка абсцисса равна $0$.