мат. ожидание экспоненциального распределения

[Игорь]

Подскажите, как выводятся формулы для
числовых характеристик распределений!
Может, я что-то не понимаю, но как вывести формулу для
мат. ожидания экспоненциального закона
M[X] = 1/a, где a - параметр распределения?

[Dan_Te]

По определению, для непрерывной случайной величины $\xi$ с плотностью р(х) ее мат. ожидание равно $$E\xi = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x\cdot p(x) dx$$ Для экспоненциальной величины с параметром $\lambda$ имеем $p(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x\geqslant 0$, откуда $$E\xi=\int\limits_0^{+\infty} x\lambda e^{-\lambda x}dx= \left|\lambda x=y,dx=\frac{dy}{\lambda} \right|= \int\limits_0^{+\infty} y e^{-y}\frac{dy}{\lambda}$$ Поскольку $$ \int\limits_0^{+\infty} y e^{-y}dy = \int\limits_0^{+\infty} y(-d e^{-y}) = \left.y(-e^{-y})\right|_0^{+\infty} - \int\limits_0^{+\infty} -e^{-y}dy = (0-0) -(-1)=1,$$ окончательно получим $$ E\xi = \frac 1{\lambda}$$

[Игорь]

Спасибо за оперативный ответ:)!
Из какой книжки скан? В библиотеке она есть?

[dm]

Игорь писал(а):

Из какой книжки скан? В библиотеке она есть?

Это НЕ скан, можете в этом убедиться так. На форуме есть поддержка LaTeX с помощью тэга MATH.

[Dan_Te]

Определение мат. ожидания непрерывной случайной величины есть в любом учебнике по теорверу. Например, книги Гнеденко, Феллера, Ширяева, Боровкова и др. Не знаю, какая будет попроще.

Пример с экспоненциальной величиной также часто разбирается.