Три точки

[Kornelij]

На окружности наугад выбирают три точки и получают треугольник.
Скажите, плз, где-то в лит-ре есть информация о том, как распределены площадь и периметр этого треугольника?

[Хорхе]

Нигде не видел, особенно про периметр (это должно быть какое-то очень некошерное распределение). Попробуйте поискать задачи на эту тему в задачнике по тв.

[мат-ламер]

Где-то читал про подобную задачу (но без периметра), что в ней есть нюанс - возможны две неэквивалентные постановки. Можно посмотреть занимательные задачи Мостеллера. Может там есть.
Посмотрел Мостеллера. Задача 25. На эту тему. Но не то. Неэквивалентные постановки скорее относится к задаче из Мостеллера.

[Kornelij]

Мостеллер, задача 25 - совсем не то. В задачниках искал - нигде нет.
Может, все-таки кто-то где-то в какой-то книге уже встречал? Вопрос остается открытым.

[venco]

Kornelij в сообщении #314783 писал(а):

На окружности наугад выбирают три точки и получают треугольник.
Скажите, плз, где-то в лит-ре есть информация о том, как распределены площадь и периметр этого треугольника?

По крайней мере средние периметр и площадь посчитать несложно.

[мат-ламер]

При нахождении распределения трудно будет найти пределы интегрирования в двойном интеграле. Kornelij. Пробуйте тут начать решение, а участники форума поддержат.

[Kornelij]

Моя цель - не решить задачу, а именно найти готовое решение в литературе. Саму задачу я уже решал, но решение за счет интегрирования выходит непомерно громоздким. На одном форуме (http://www.nsu.ru/phorum/read.php?f=6&i=19180&t=19180) мне тоже предлагали идею решения, но тоже все упирается в сложное интегрирование. И вот я подумал, возможно, в книгах есть какие-то хитрые методы решения именно такого рода задач? Или какие-то теоремы, для которых эта задача была бы простым следствием?

[Yu_K]

Может у Сантало Л. есть http://www.dleex.com/details/?4593, по крайней мере задача про случайный треугольник внутри другого треугольника http://mathworld.wolfram.com/TriangleTrianglePicking.html там есть.

[Kornelij]

У Сантало (стр.25) вершины треугольника выбираются в круге, а не на окружности. В задаче про треугольник (http://mathworld.wolfram.com/TriangleTrianglePicking.html) внутри другого треугольника ищется не распределение, а среднее значение площади.
Вопрос остается открытым.

[Yu_K]

Нет у Сантало значит нет.

А англоязычный интернет гуглили?

Посмотрел ф-ции распределения и МО(метод Монте Карло) площадей треугольников для трех точек на окружности и для трех точек на сфере (равномерно распределенных). Как соотносятся их МО можно что-то теретически предсказать? Ну и на сферах в пространствах большей размерности. Похоже чем больше размерность пространства тем ближе функция распределения площади к нормальному распределению.

[Kornelij]

Yu_K в сообщении #316812 писал(а):

Как соотносятся их МО можно что-то теретически предсказать?

А зачем?

[Yu_K]

(Оффтоп)

Просто так.
Кажется есть какая-то простая связь между этими МО - может без интенгралов можно догадаться. А поиск функции распределения площади произвольного сечения шара - немного походит на парадокс Бертрана, там где окружность и хорда.