2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Устойчивая конфигурация N частиц
Сообщение01.05.2010, 07:47 
Помогите пожалуйста. У меня есть некий набор из N точек с координатами (x,y). Задан парный потенциал взаимодействия. Нужно определить таку конфигурацию точек, чтобы энергия была минимальной. Я пробовала сделать это методом локальных вариаций, т.е. немного меняла координаты x и y и смотрела, где энергия меньше, заменяла координаты. Но, похоже, этим методом можно найти только локальный минимум, а нужен - глобальный. Что же делать?(

 
 
 
 Re: Устойчивая конфигурация N частиц
Сообщение01.05.2010, 08:56 
Аватара пользователя
Минимизируя $E=\sum U_{ij}$ получим $2N$ уравнений на $2N$ координат. В общем положении имеется конечное множество решений.

Может быть в Вашей задаче можно сразу дать оценку $E\ge E_0$ и указать экстремальную конфигурацию.

 
 
 
 Re: Устойчивая конфигурация N частиц
Сообщение01.05.2010, 10:18 
Аватара пользователя
В статье Википедии про метод Нелдера-Мида говорится "Более развитый подход к исключению локальных экстремумов предлагается в алгоритмах, основанных на методе Монте-Карло, а также в эволюционных алгоритмах." А про алгоритм имитации отжига - "Алгоритм имитации отжига похож на градиентный спуск, но за счёт случайности выбора промежуточной точки должен будет попадать в локальные минимумы реже, чем градиентный спуск." Вероятно, для Вашей задачи есть специальные методы, лучше приспособленные для многоэкстремальности. Но в общем случае это задача сложная. Попробуйте поэкспериментировать с методом имитации отжига (Метрополиса). Я его не знаю. Подробности Вам выдаст Гугл.

 
 
 
 Re: Устойчивая конфигурация N частиц
Сообщение01.05.2010, 10:51 
Аватара пользователя
Сколько атомов тянет алгоритм? Получаются ли канонические конфигурации для N=3 и 4?

А потом, если с этим всё уже хорошо, то понимаете... Вот человек решает диффур. Ракета у него там летит или что-нибудь. Трудности могут быть такие и сякие, но есть один неубиваемый аргумент - "ведь природа же как-то это решает". То есть в природе ракета как-то летит. Вряд ли она зависнет в воздухе (в реале) от вычислительных трудностей :lol:
Так вот, Ваша задача другая - её природа не решает. Она тоже заезжает в локальный минимум и не парится.

 
 
 
 Re: Устойчивая конфигурация N частиц
Сообщение02.05.2010, 13:11 
Нет, он не хочет работать для 3 частиц, т.е. Получается равнобедренный треугольник, а не равносторонний. Я вот подумала, может можно как-то резко потом увеличить шаг и тем самым выпрыгнуть из локального минимума? Но критерий сходимости я тогда не могу придумать(

 
 
 
 Re: Устойчивая конфигурация N частиц
Сообщение02.05.2010, 13:18 
Аватара пользователя
Блин. Я же говорил: это не минимум вообще. Проверьте руками, если не верите на слово. (Написать функцию, взять производную, сравнить с нулём.) У Вас нет метода поиска минимума. Надо написать такой метод. Сначала. А потом всё остальное.

 
 
 
 Re: Устойчивая конфигурация N частиц
Сообщение03.05.2010, 22:35 
Метод градиентного спуска подойдет?

 
 
 
 Re: Устойчивая конфигурация N частиц
Сообщение03.05.2010, 23:16 
Аватара пользователя
Можно и такой. Да неважно какой. Лишь бы работало.

 
 
 
 Re: Устойчивая конфигурация N частиц
Сообщение04.05.2010, 03:19 
2poisonous
А я бы соединил бы точки пружинками с жесткостью зависящей от потенциала... :) Точки можно зарядить, а саму систему положить в вязкую среду... Иногда это дает неплохие результаты. Например, надо мне было как-то равномерно распределить точки по сфере, ну я недолго думая построил пружинную систему... и остался доволен. :)

 
 
 
 Re: Устойчивая конфигурация N частиц
Сообщение04.05.2010, 20:30 
Аватара пользователя
Цитата:
А я бы соединил бы точки пружинками с жесткостью зависящей от потенциала... :)
Очень правильно. Это примерно эквивалентно методу тяжёлого шарика.
Цитата:
У Вас нет метода поиска минимума. Надо написать такой метод. Сначала.

Ну, можно и не писать, а взять готовый метод, например, в МатЛабе. Там как раз есть демо-пример с атомами. Градиентный метод сходится медленно. Если будете сами программировать, то уж лучше метод Ньютона. Причём запускайте его многократно с разных начальных точек, чтобы найти побольше локальных минимумов.

 
 
 
 Re: Устойчивая конфигурация N частиц
Сообщение06.05.2010, 22:17 
Но ведь метод Ньютона может не сойтись.

 
 
 
 Re: Устойчивая конфигурация N частиц
Сообщение07.05.2010, 04:28 
2poisonous
Цитата:
Но ведь метод Ньютона может не сойтись.

Может быть именно поэтому мат-ламер говорил о многократном запуске такой оптимизации из различных начальных точек... :)

 
 
 
 Re: Устойчивая конфигурация N частиц
Сообщение22.05.2010, 10:14 
Может я что-то не так понимаю? Для реализации метода градиентного спуска для 3 частиц я в качестве координат беру расстояния между частицами и потенциальная энергия записывается в виде $U=\frac{1}{x^{12}}-\frac{1}{x^6}+\frac{1}{y^{12}}-\frac{1}{y^6}+\frac{1}{z^{12}}-\frac{1}{z^6}$, используя потенциал Леннарда-Джонса. И ищу минимум. Но он не работает. $\lambda$ из метода я беру изначально маленькой, а потом делю пополам. Может я саму функцию не ту беру? Не понимаю...

 
 
 
 Re: Устойчивая конфигурация N частиц
Сообщение22.05.2010, 10:35 
Аватара пользователя
В качестве независимых переменных можно выбрать координаты трёх частиц - всего 9 координат. Потенциальная энергия - сумма трёх членов - описывает взаимодействие каждой из частиц с каждой. В знаменателях дробей - расстояния между частицами в соответствующих степенях. Может Вы попробуете выписать тут формулу для потенциальной энергии? Применение градиентного метода даже для трёх частиц выглядит сомнительным, ну попробуйте.

 
 
 
 Re: Устойчивая конфигурация N частиц
Сообщение22.05.2010, 10:40 
Аватара пользователя
Функция правильная. Плохой либо метод, либо конкретная реализация.

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group