Непрерывность отображений в Лебеговых пространствах

[LTU]

Найти \alpha> 0, при которых отображение f : L_2(0,1) \to L_1(0,1); f(x)(t)=x(t^\alpha) непрерывно в пространстве L_2(0,1)?
В конспекте есть следующее решение:
||f(x)-f(x_0)||_{L_1} = \int\limits_{0}^{1} |f(x)(t)-f(x_0)(t)| dx = \int\limits_{0}^{1} |x(t^\alpha)-x_0(t^\alpha)| dx
дальше вводится замена:
t^\alpha = y \Rightarrow t=y^{1/\alpha} \Rightarrow dt=\frac{1}{\alpha}y^{1/\alpha-1}
с учетом замены продолжаем:
\int\limits_{0}^{1} |x(y)-x_0(y)| \frac{1}{\alpha}y^{1/\alpha-1}dy \le * ||x-x_0||_{L_2} (\int\limits_{0}^{1} (\frac{1}{\alpha}y^{1/\alpha-1})^2 dy)^{1/2}
потом рассматривается правая часть предыдущего выражения:
(\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\alpha^2}y^{2/\alpha-2} dy)^{1/2}
и делается вывод**, что:
2/\alpha -2 > 1 и \alpha > 0, следовательно 0 < \alpha < 2
Пока не могу понять моменты, которые отметил * и ** соответственно. Возможно, в решении есть ошибки...

Дальше, меня ждет задание, проверить, непрерывно ли отображение:
f : L_2(0,1) \to L_2(0,1); f(x)(t)=a(t)x(t), если a(t) \in L_2(0,1)?
Второе задание можно пробовать решать, когда прояснится первое. Спасибо.

-- Пт апр 30, 2010 22:31:03 --

Возможно, первый непонятный мне переход обоснован неравенством Хёлдера. Но ** переход пока не ясен.

[LK4D4]

Первый переход правильно, здесь даже неравенство Коши-Буняковского-Шварца.
Последний интеграл можно вычислить и из результата будет видно ограничение на альфу.

[LTU]

Цитата:

Последний интеграл можно вычислить и из результата будет видно ограничение на альфу.

Разобрался, спасибо. Есть похожее задание, в чужом решении подозреваю ошибку, прошу подтвердить. Задание следующее:
Найти \alpha, при которых отображение f : L_2(0,1) \to L_2(0,1); f(x)(t)=x(t^\alpha) непрерывно.
Решаю аналогично, как в предыдущем:
||f(x)-f(x_0)||_{L_2} = (\int \limits_{0}^{1} |x(t^\alpha)-x_0(t^\alpha)|^2 dx)^{1/2} = (\int \limits_{0}^{1} |x(y)-x_0(y)|^2 \frac{1}{\alpha}y^{1/\alpha-1}dy)^{1/2} =* ||x-x_0||_{L_2}(\int \limits_{0}^{1}\frac{1}{\alpha}y^{1/\alpha-1}dy)^{1/2}
Далее, по аналогии с первым заданием, чтобы последний интеграл был ограничен $\frac{1}{\alpha} > 0, то есть \alpha > 0.
Верно ли данное решение? Еще смущает переход, отмеченный *, возможно там должен быть знак "меньше или равно"? И как это обосновать?

У меня в конспекте записан ответ $\frac{1}{\alpha}-1 \ge 0, то есть 0 < \alpha \le 1, подозреваю, что оно ошибочно.

-- Сб май 01, 2010 14:46:00 --

Попытался сам решить задание:
Непрерывно ли отображение:
$f : L_2(0,1) \to L_2(0,1); f(x)(t)=a(t)x(t), если $a(t) \in L_2(0,1)?
Рассуждаю так:
||$f(x_0)-f(x)||_{L_2} = (\int \limits_{0}^{1}|f(x_0)(t)-f(x)(t)|^2 dx)^{1/2} = (\int \limits_{0}^{1}|x_0(t)a(t)-x(t)a(t)|^2 dx)^{1/2} = (\int \limits_{0}^{1}|a(t)(x_0(t)-x(t))|^2 dx)^{1/2} \le* ||x_0-x||_{L_2}(\int \limits_{0}^{1}|a(t)|^2 dx)^{1/2}
Так как по условию $a(t) \in L_2(0,1), то (\int \limits_{0}^{1}|a(t)|^2 dx)^{1/2} ограничен, следовательно отображение f непрерывно. Имеет ли данное рассуждение право на жизнь? :) Не уверен в переходе на неравенство.

[ewert]

Вы напрасно возитесь с непрерывностью. Операторы у Вас линейные, поэтому проверять следует их ограниченность.

LTU в сообщении #314499 писал(а):

\int\limits_{0}^{1} |x(y)-x_0(y)| \frac{1}{\alpha}y^{1/\alpha-1}dy \le * ||x-x_0||_{L_2} (\int\limits_{0}^{1} (\frac{1}{\alpha}y^{1/\alpha-1})^2 dy)^{1/2}

Как справедливо заметил LK4D4, это называется неравенством Коши-Буняковского.

LTU в сообщении #314499 писал(а):

потом рассматривается правая часть предыдущего выражения:
(\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\alpha^2}y^{2/\alpha-2} dy)^{1/2}
и делается вывод**, что:
2/\alpha -2 > 1 и \alpha > 0,

Только $2/\alpha -2 > -1$, после чего правильно. Однако же следует иметь в виду, что это пока что ещё не доказательство. Пока что доказано лишь, что при таких альфах всё действительно хорошо. А надо ещё доказать, что при остальных -- всё плохо.

Как?... -- Зафиксируйте какое-либо $\alpha>2$. И подберите для неё какую-либо функцию $x(y)$ так, чтобы сама эта функция принадлежала $L_2$, но результат действия на неё оператора уже не принадлежал бы $L_1$ (просто подходящую степень). Т.е. оператор на этой функции как оператор из $L_2$ в $L_1$ не определён. Если теперь взять последовательность таких функций, обнулённых на всё более маленьких окрестностях нуля, то $L_2$-нормы таких функций будут стремиться к константе, а на выходе $L_1$-нормы соответствующих значений оператора стремятся к бесконечности. Следовательно, оператор не ограничен или, что то же, не непрерывен.

LTU в сообщении #314657 писал(а):

Рассуждаю так:
||$f(x_0)-f(x)||_{L_2} = (\int \limits_{0}^{1}|f(x_0)(t)-f(x)(t)|^2 dx)^{1/2} = (\int \limits_{0}^{1}|x_0(t)a(t)-x(t)a(t)|^2 dx)^{1/2} = (\int \limits_{0}^{1}|a(t)(x_0(t)-x(t))|^2 dx)^{1/2} \le* ||x_0-x||_{L_2}(\int \limits_{0}^{1}|a(t)|^2 dx)^{1/2}

Вы угадали -- последнее неравенство неверно.

Оператор не обязан быть ограниченым по достаточно тривиальным причинам: из того, что каждая из двух функций принадлежит $L_2$, не следует, что их произведение будет тоже принадлежать $L_2$.

[LTU]

Цитата:

Вы угадали -- последнее неравенство неверно.

Оператор не обязан быть ограниченым по достаточно тривиальным причинам: из того, что каждая из двух функций принадлежит $L_2$, не следует, что их произведение будет тоже принадлежать $L_2$.

Да, это было бы слишком просто. Подсказку, как доказать правильно, дадите?

[ewert]

Не знаю, в какую сторону подсказывать. Что, собственно, нужно доказать-то: что предположение о непрерывности при всех изначально допущенных $a(t)$ неверно?... ну это тривиально.

Или надо указать подкласс всех $a(t)$, для которых оно (предположение) всё-таки верно?...

Вопрос (с учётом ответа) сформулирован как-то невнятно.

[LTU]

Цитата:

Не знаю, в какую сторону подсказывать. Что, собственно, нужно доказать-то: что предположение о непрерывности при всех изначально допущенных $a(t)$ неверно?... ну это тривиально.

Перечитал задание еще раз, думаю наиболее полное решение включало бы в себя хотя бы 2 подкласса $a(t)$ при которых $f$ было бы соответсвенно прерывно и непрерывно (если такие подклассы существуют, мне это пока не очевидно, мыло опыта). Можно привести пример $a(t)$ при котором не будет выполняться условие непрерывности?

[AD]

LTU, Слово [math] не обязательно, доллары вокруг каждой формулы обязательны.
А то у Вас всё разным шрифтом получилось. Это так, на будущее.