Задача про прыгающий шарик

[caxap]

Шарик падает с высоты $h$, потом отпрыгивает на высоту $qh$, где $q\in(0,1)$. И т. д. Надо найти полный путь $s$, пройденный шариком до полной остановки и время $t$, которое на это требуется.

Моё решение:
$s=h+2qh+2q^2h+...=h+2\sum_{k=1}^{\infty}q^k h=h+2h\frac{q}{1-q}=h\frac{1+q}{1-q}$
$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}+2\sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{\frac{2q^kh}{g}}=\sqrt{\frac{2h}{g}}+2\sqrt{\frac{2h}{g}}\sum_{k=1}^{\infty}({\sqrt q})^k=\sqrt{\frac{2h}{g}}+2\sqrt{\frac{2h}{g}}\frac{\sqrt{q}}{1-\sqrt{q}}$

Верно ли? Если верно, то такой вопрос: мне кажется, что мячик должен скакать так бесконечно долго, всё время подпрыгивая на меньшую высоту. По рассчётам получается не так.

[ИСН]

caxap, не Вам первому кажется подозрительным, что бесконечная сумма сходится к конечной величине. Один такой бормотал всё что-то про Ахиллеса и черепаху, у него была похожая ситуация.

[caxap]

ИСН
C Ахиллесом там всё понятно, даже можно сказать очевидно. А вот тут не очень: вот пускай $q=0.5$, тогда после первого отскока шарик поднимется на вдвое меньшую высоту, затем ещё на вдвое меньшую и т. д. Напоминает жука, который полметра проползает за 1 с, затем за такое же время -- ещё половину от оставшегося полметра и т.д. и он никогда не доползёт до отметки 1 м. Почему же здесь шарик всё же остановится, причём через какое-то определённое конечное время?

[e7e5]

caxap в сообщении #314421 писал(а):

Почему же здесь шарик всё же остановится, причём через какое-то определённое конечное время?

А вы опыт поставьте.. Мячик наверное "не квантовый"...

[caxap]

e7e5 в сообщении #314483 писал(а):

А вы опыт поставьте..

Опытов не надо. В реальных физических условиях шарик конечно остановится, скажуться потери всякие и т.д. Рассматриваем чисто математическую задачу (кстати, это задача из Зорича на ряды): шарик падает без трения, ударяется и поднимается ровно на $qh$ метров, затем процесс продолжается. Воздуха нет. Стол гладкий и т. п. Ну понятно вобщем, что я имею ввиду. Ведь если так думать, то как может шарик полностью остановится? Ведь сколько раз не дели на (к примеру) 2, ноль мы никогда не получим. Где-то тут у меня ошибка, вот я и попросил помощи её найти.

[ИСН]

Я не понимаю, как Вам может быть понятно с Ахиллесом и непонятно здесь. Это совершенно, абсолютно то же самое. Как он прошёл этот метр? Вот так взял и прошёл. Какие-то бородатые греки с рулеткой и секундомером суетились вокруг, шумели: первая половина! а потом четверть! так можно без конца делить на 2, ноль мы никогда не получим! А он взял и тупо прошёл.
(Что у меня таким образом все апории Зенона смешались воедино - я знаю, и мне наплевать.)

[VPro]

caxap в сообщении #314485 писал(а):

e7e5 в сообщении #314483 писал(а):

А вы опыт поставьте..

Опытов не надо. В реальных физических условиях шарик конечно остановится, скажуться потери всякие и т.д. Рассматриваем чисто математическую задачу (кстати, это задача из Зорича на ряды): шарик падает без трения, ударяется и поднимается ровно на $qh$ метров, затем процесс продолжается. Воздуха нет. Стол гладкий и т. п. Ну понятно вобщем, что я имею ввиду. Ведь если так думать, то как может шарик полностью остановится? Ведь сколько раз не дели на (к примеру) 2, ноль мы никогда не получим. Где-то тут у меня ошибка, вот я и попросил помощи её найти.

Если это "чисто математическая задача", то аналогия с Ахилесом полная. И шарик остановится за конечное время, совершив бесконечное количество отскоков. А если это задача физическая, то даже при идеальных условиях (трение отсутствует полностью) мы обязаны учитывать время взаимодействия шарика с поверхностью (в "математической" постановке оно неправомерно принято за 0). Время взаимодействия по крайней мере не меньше времени прохождения упругой волны по объему шарика ($t\ge \frac{D}{v}$, где $D$ -- диаметр, $v$ --скорость звука ), т.е. конечная величина.