Конус отрицательных функций

[kkar]

Почему конус отрицательных функций является открытым множеством в пространстве C(K), K- компакт? Скажем, пусть конус A=\{f\in C(K): \forall x\in K\quad f(x)<0\}, значит \forall f\in A \quad \exists M такое что f<M<0. Правильно ли я понимаю, что тогда искомой окрестностью элемента f будет множество \{g\in C(K): ||f-g||<\frac{|M|}{2}\}? Но почему тогда это множество тоже лежит в конусе?

[ewert]

Потому, что функция, отрицательная на компакте, отделена от нуля (т.к. она достигает на компакте своего максимума, и этот максимум, соответственно, отрицателен). Это если убрать из Вашего текста избыточные кванторы, а так всё верно.

kkar в сообщении #314171 писал(а):

Но почему тогда это множество тоже лежит в конусе?

Потому.