Вроде бы стандартная задача из Виленкина

[Martin_Iden]

Всем здравствуйте! Есть затруднение при решении задачи 142.4 из сборника задач по МА Виленкина Н.Я. Итак, условие: Зная, что сумма ряда \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} равна \Pi^2/12, найти суммы рядов, полученных из данного ряда в результате перестановки его членов:

а) 1 + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} -
\frac{1}{4^2} + \frac{1}{9^2} + \frac{1}{11^2} - \frac{1}{6^2}+... ;

б) 1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} - \frac{1}{4^2} + ...

Соображения: исходный ряд сходится абсолютно, по теореме Дирихле о перестановке членов абсолютно сходящегося числового ряда при проихвольной перестановке его сумма не меняется. Однако в задачнике другие ответы: а) 3/2*ln2; б) 1/2*ln12. Подскажите, в чём мой подход ошибочен. Только направление, постараюсь доделать сам))

-- Вт апр 27, 2010 23:15:52 --

сразу не разобрался с тегами, извиняюсь.
исходный ряд:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \pi^2/12$
после перестановки:
а) $1 + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{9^2} + \frac{1}{11^2} - \frac{1}{6^2}+... = \frac{3}{2}\,\ln2$;

б) $ 1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} - \frac{1}{4^2} + ... = \frac{1}{2}\,\ln12$.

[RIP]

Там какая-то ерунда написана. Должно быть примерно так. Зная, что

$$\sum_{n=1}^N\frac1n=\ln N+\gamma+o(1),\qquad N\to\infty,$$

где $\gamma$ --- некоторая постоянная (постоянная Эйлера(--Маскерони)), найти
а)

$$\frac11+\frac13-\frac12+\frac15+\frac17-\frac14+\ldots,$$

б)

$$\frac11+\frac13+\frac15-\frac12+\frac17+\frac19+\frac1{11}-\frac14+\ldots.$$

-- Вт 27.4.2010 23:26:24 --

topic28418.html

[Martin_Iden]

Вариант с неверным условием я как-то не рассматривал. Думал, солидный задачник, выдержавший многие переиздания...
Проверил, и, действительно:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left\{\frac{1}{4n-3} + \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{2n} \right\}= \frac{3}{2}\ln 2;$$

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left\{\frac{1}{6n-5} + \frac{1}{6n-3} + \frac{1}{6n-1} - \frac{1}{2n} \right\}= \ln 2 + \frac{1}{2}\ln 2$$

Спасибо !!)