Определитель

[PreVory]

Чтото не очень ясно. Если вы имели ввиду предложение Руста, то вроде $A_n'(x)=A_{n-1}'(x)$ не верно.
А если про ряды то:
а)перед членами ряда стоят различные коэфициенты, которые нельзя связать с х.
б)для вычисления определителя порядка i мне нужно будет взять производную i порядка, если брать её от бесконечного ряда, то ничего хорошего не выйдет, а если от данного, то она будет обращатся в ноль, только тогда когда правая часть была 0, что вероятно и требуется доказать.
Или я не так вас понял?
Для бесконечного ряда это разумеется верно, но я пока не вижу как перейти от бесконечного к конечному ряду.

[Ales]

Из четности $\frac {e^{-x}+x-1} {1-e^{-x}} - \frac x 2$ сразу следует, что все нечетные определители начиная с третьего равны 0.

-- Вт апр 27, 2010 22:44:38 --

Если Вы не слышали про производящие функции, решить такую задачу трудно.

-- Вт апр 27, 2010 22:47:59 --

Надо домножить все выражения на $x^n$ и сложить их от 1 до бесконечности.
Тогда и получается производящая функция, в которой $D_n$ будут коэффициентами степенного ряда в нуле.

[PreVory]

Всё, уже разобрался
Огромное спасибо)

-- Ср апр 28, 2010 00:06:36 --

Осталось только понять почему

Ales в сообщении #314048 писал(а):

Бесконечный ряд $D_1x+D_2x^2+D_3x^3+....=\frac {e^{-x}+x-1} {1-e^{-x}}$

или это известная формула?

[Ales]

Умножаем на $x^n$ выражение:
$D_n- \frac 1 {2!} D_{n-1} +\frac 1 {3!} D_{n-2}-\frac 1 {4!} D_{n-3} +\frac 1 {5!} D_{n-4}-...=\frac {(-1)^{n+1}} {(n+1)!} $

И складываем "вертикально" по всем $n$ от 1 до бесконечности.

[Руст]

Я исправил отпечатки. Степени х я взял так, чтобы производная столбца совпала с левым столбцом, что дает 0 при вычислении определителя кроме самого левого, т.е. $A_n'(x)=A_{n-1}(x).$

[PreVory]

Ну кажется понял почему так получается, осталось это аккуратно расписать

[PreVory]

Всем спасибо за помощь. Определитель вчера был успешно сдан

[TOTAL]

Нашел несколько первых определителей четного порядка. Все они оказались дробями с единицей в числителе. Откуды бы это следовало?

[Руст]

TOTAL в сообщении #314311 писал(а):

Нашел несколько первых определителей четного порядка. Все они оказались дробями с единицей в числителе. Откуды бы это следовало?

При вычислении четность порядка не имеет никакого значения и определитель вычислен для любого порядка n и равен $\frac{1}{n!}$.

[TOTAL]

Руст, Вы про какие определители говорите? Я понимаю так, что на главной диагонали стоят $(1/2!),$ на диагонали выше $(1/3!),$ ещё выше $(1/4!)$ и т.д. Под главной диагональю стоят $(1/1!).$ Остальные нули.

[Руст]

TOTAL в сообщении #314320 писал(а):

Руст, Вы про какие определители говорите? Я понимаю так, что на главной диагонали стоят $(1/2!),$ на диагонали выше $(1/3!),$ ещё выше $(1/4!)$ и т.д. Под главной диагональю стоят $(1/1!).$ Остальные нули.

Я имел в виду первоначальный вариант. Этот примерно так же вычисляется, $a_i_j=\frac{x^{j-i+2}}{(j-i+2)!}$ если добавит еще одну диагональ с единицами.
Без этого получается рекурентное соотношение: $\sum_{k=1}^{n+1} \frac{(-1)^{k-1}}{k!}D_{n+1-k}=0,D_0=1$.
Это похоже на соотношение между числами Бернулли. Надо вычислить соответствующую производящую функцию. Получается, что $D_n=B_n, n>1,D_1=-B_1.$.

[maxal]

Руст в сообщении #314366 писал(а):

Получается, что $D_n=B_n, n>1,D_1=-B_1.$.

Так и есть - этот определитель указан здесь:
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_ ... identities