1) На плоскости дано множество точек. Найти прямую, для которой сумма квадратов расстояний до точек минимальна. Хотелось бы посмотреть анализ данной задачи в доступной литературе и решение, обобщаемое на случай, сажем, трехмерного пространства и плоскости. Можно ли составить переопределенную СЛАУ нормальным псевдорешением которой были бы коэффициенты уравнения прямой?
2) В трехмерном пространстве найти окружность лежащую максимально близко (в смысле суммы квадратов расстояний) от заданного множества точек. То же с ограничениями:
а) окружность образована вращением точки вокруг прямой проходящей через начало координат;
б) — а) + известно расстояние от начала координат до этой точки
3) В трехмерном пространстве найти эллипсоид, поверхность которого была бы максимально близка к заданному множеству точек.
Задачи 2 и 3 можно, разумеется, решать с общих позиций нелинейной оптимизации, а нет ли более изящных методов? Есть подозрение, что они близки к линейным, по крайней мере, в случае малых невязок.
, здесь А параметры множества, x_i координаты i-ой точки. При этом S(A) для линейных получается квадратичной функцией от А. Поэтому при нахождении минимума сводится к решению линейных уравнений.