Задачки на МНК (прямая, плоскость, окружность, эллипсоид)

[Пользователь]

1) На плоскости дано множество точек. Найти прямую, для которой сумма квадратов расстояний до точек минимальна. Хотелось бы посмотреть анализ данной задачи в доступной литературе и решение, обобщаемое на случай, сажем, трехмерного пространства и плоскости. Можно ли составить переопределенную СЛАУ нормальным псевдорешением которой были бы коэффициенты уравнения прямой?

См. http://dxdy.ru/post74216.html#p74216 // AKМ

2) В трехмерном пространстве найти окружность лежащую максимально близко (в смысле суммы квадратов расстояний) от заданного множества точек. То же с ограничениями:
а) окружность образована вращением точки вокруг прямой проходящей через начало координат;
б) — а) + известно расстояние от начала координат до этой точки

См. http://dxdy.ru/topic8613.html // AKM

3) В трехмерном пространстве найти эллипсоид, поверхность которого была бы максимально близка к заданному множеству точек.

Задачи 2 и 3 можно, разумеется, решать с общих позиций нелинейной оптимизации, а нет ли более изящных методов? Есть подозрение, что они близки к линейным, по крайней мере, в случае малых невязок.

[Руст]

Эти задачи стандартны. Определяете расстояние от точки до заданного множества (прямой, плоскости, эллипса, эллипсоида) и получаете сумму расстояний $S(A)=\sum_i f(A,x_i)$, здесь А параметры множества, x_i координаты i-ой точки. При этом S(A) для линейных получается квадратичной функцией от А. Поэтому при нахождении минимума сводится к решению линейных уравнений.

[surfer]

по поводу п. 1.
Видел решение этой задачи в учебниках по Эконометрике. Решение используется для составления уравнения парной регрессии.