как реализовать МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЧАСТЬ программы
. . . . . . . . . . . . . . .
Желательно с исходником на Delphi 7.
Тут есть явное противоречие.
А на исходный вопрос ответ очень прост: используйте любую квадратурную формулу.
Только, конечно, знать надо не только производные, но и значение самой функции в какой-то одной точке. Иначе никак.