Вопрос по идеалам...

[sniffer]

Есть маленький вопрос по идеалам...

\[ R \]

коммутативное кольцо.

\[ I \triangleleft R \]

И также определено:

\[ r(I) = \left\{ {x \in R|\exists n \in \mathbb{N},x^n \in I} \right\} \]

Нужно доказать что:

\[ r(I) \triangleleft R \]

Для меня основная (и единственная) сложность в этой
задачке было доказать что

\[r(I)\]

замкнута под сложением.
Это мне удалось доказать через теорему бинома...
Как можно понят доказательство вышло длинноватым.
Интересно было бы узнать есть ли какой нибудь более
элегантный способ доказать замкнутость

\[r(I)\]

?

[Руст]

Это очень просто, если $x^n\in I,y^m\in I\Longrightarrow (x+y)^{n+m-1}\in I $.

[sniffer]

Очень похожую штучку мне как раз пришлось доказывать
через бином, потому что, если честно, я не вижу простоты
в этом... Может меня уже просто глючит...

Если можно пожалуйста поподробнее... Спасибо

[Руст]

Когда раскрываете скобки в виде суммы мономов, то каждый моном содержит или x^n или y^m (у обеих степень меньше указанного не может быть)/

[Александр Воронцов]

Ну, доказательство в каком-то смысле "через бином". Раскрываем скобки, получаем слагаемые вида $x^iy^j$, причем либо $i\ge n$ ибо $j\ge m$, потому что их сумма равна m+n-1.
А раз так, то каждое слагаемое принадлежит идеалу I.

[sniffer]

Это как раз то что я и сделал (только с n+m, а не с n+m-1)
Я просто думал что есть что то по проще.
В любом случае спасибо за внимание...