2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Почему не решается задача
Сообщение24.04.2010, 16:46 
Заслуженный участник


27/06/08
3337
Волгоград
Рылся в архивах (искал совсем другое) и наткнулся на приводимую ниже статью. Возможно, она заинтересует кого-нибудь из коллег (в отличие от методистов). Хотя она написана довольно давно, готов подписаться и сейчас.
Извиняюсь за скучноватый и местами (особенно в первых фразах) "штамповатый" язык. Это ведь изначально не для форума предназначалось. А менять я ничего не стал (если не считать пары выкинутых абзацев).

ПОЧЕМУ НЕ РЕШАЕТСЯ ЗАДАЧА

Происходящая на наших глазах информационная революция затрагивает все сферы жизнедеятельности человека. Ускорение темпов научно-технического прогресса приводит к тому, что на протяжении жизни одного человека многие достижения успевают проделать путь от научного открытия к практическому воплощению, массовому распространению и моральному устареванию. Это делает невозможным дальнейшее функционирование образовательной парадигмы, сформировавшейся на протяжении многовековой истории цивилизации, при которой получение образования относится почти исключительно к одному из этапов жизни человека, включающему в себя детские и юношеские годы. В наши дни образование должно стать одной из важных составляющих на протяжении всей активной жизни большинства людей.
Не менее значительные перемены необходимы и в содержании образования. Возникновение и развитие новых отраслей знания обуславливает появление новых дисциплин и частое изменение стандартов существующих предметов. Однако таким «латанием дыр» проблему не решить. Знание (разумеется, не всякое), являющееся актуальным сегодня успеет устареть к тому моменту, когда сегодняшний школьник или студент начнет трудовую деятельность. А то, что может быть востребовано завтра, сегодня может быть еще не открыто и даже не предсказано. Единственный способ побороть эту ситуацию - сместить «центр тяжести» современного образования от фактографии в сторону усвоения способов получения, анализа, верификации и преобразования информации.
Важным подспорьем в перестройке образования, отвечающей вызовам времени, может и должно стать решение задач. Не решение задач определенного типа (на движение, на проценты, на построение и т.д.), а решение задач вообще. Название настоящей статьи не случайно перекликается с названием знаменитой книги выдающегося американского математика и педагога Дж. Пойа «Как решать задачу» [1]. Так же, как и в труде Пойа, речь в ней пойдет о решении задач безотносительно их принадлежности к конкретным типам и разделам математики (а возможно, и не только математики).
Разумеется, не бывает каких-то «задач вообще». Умение решать задачи формируется как раз в процессе решения задач на движение, на проценты на построение и т.д. Но сам этот процесс может быть организован совершенно по-разному.
В нашем образовании по сию пору господствует традиционный подход, при котором учитель (преподаватель) сначала демонстрирует учащимся готовые образцы решения задач определенного типа, затем предлагает им упражняться в решении аналогичных задач. Такой подход весьма эффективен для скорейшего овладения алгоритмами решения стандартных задач. Он вполне полезен и для более глубокого усвоения теоретического материала. Однако для достижения этой цели неразумно ограничиваться лишь репродукцией образцов разобранных преподавателем задач. В самом деле, при решении задач репродуктивного характера внимание обучаемых сосредотачивается на вопросе «как?», обходя стороной ключевой для понимания материала вопрос «почему?». Наконец, в ситуации, когда решение задач используется как средство формирования продуктивного мышления, традиционный подход практически бесполезен. Понятно, что умение самостоятельно рассуждать эффективно формируется лишь при решении задач, востребующих это умение, то есть таких, для которых у обучаемого нет готовых образцов решения.
Почему же, несмотря на очевидность последнего тезиса, традиционный подход не сдает своих позиций? На взгляд автора этому есть три основных причины.

1. Существующие образовательные программы и стандарты ориентируют преподавателя не на развитие личности обучаемого, а на достижение более конкретных и частных целей.
Констатация этого факта вовсе не означает, что автор призывает к очередному пересмотру ученых планов и образовательных стандартов. Декларированием благих намерений в этих документах проблему не решить.

2. Как это ни печально, значительная часть тех, кто по долгу службы учит других, сами способны к решению задач лишь на основе готовых шаблонов.
Исправить положение можно и нужно, повышая качество подготовки (и заработную плату) педагогических кадров.

3. Наконец, даже многие из тех преподавателей, которые умеют ставить и решать продуктивные задачи и осознают их значимость, используют их в своей практике лишь эпизодически, ссылаясь на нехватку времени.

Разумеется, организация учебного процесса, ориентированного на самостоятельную поисковую деятельность обучаемых, требует гораздо больших временных затрат, чем обучение, основанное на следовании готовым образцам. Но…
Во-первых, более медленные по сравнению с традиционным подходом темпы усвоения материала характерны лишь на ранней стадии активного использования поисковых методик. Школьники и студенты, успешно прошедшие испытание на самостоятельность, в дальнейшем способны обучаться и быстрее и качественнее, чем их сверстники, привыкшие следовать готовым образцам.
Во-вторых, затраты времени на поисковую деятельность учащихся во многом зависят от того, как организована эта деятельность.
Конечно, можно оставить обучаемых один на один с новыми для них задачами и ждать, пока они сами «выплывут». Но наиболее вероятным исходом в этом случае будет, как раз, неоправданная потеря драгоценного времени и снижение познавательного интереса обучаемых (как защитная реакция психики на неуспех). Поэтому учитель должен не только свободно владеть материалом, но и глубоко понимать механизмы поиска, хорошо представлять барьеры и трудности, поджидающие обучаемых.

Состав, и содержание фаз решения поисковых задач не имеют устоявшейся трактовки. В свое время автором была предложена схема процесса решения поисковых задач. Разумеется, эта схема не претендует на роль алгоритма (само предположение о существовании алгоритма решения поисковых задач выглядит странно) и не является ни универсальной, ни единственно возможной. Но, тем не менее, в самых общих чертах процесс решения значительной части поисковых задач выглядит так:
- анализ условия и требований задачи, т.е. осознание задачи субъектом мышления;
- пробующие действия и накопление экспериментальных данных;
- анализ накопленного материала и выявление локальных зависимостей;
- их обобщение и выдвижение гипотез;
- проверка гипотез и реализация плана решения;
- исследование и уточнение найденного решения.

При этом продвижение субъекта задачи по этой схеме протекает не по-следовательно, а частично симультанно. Так, осмысление условия может углубляться по мере накопления экспериментального материала, стратегия последующих пробующих действий определяется анализом предыдущих и проверкой возникших гипотез и т.д.
Особо отметим второй блок вышеприведенной схемы в связи с тремя обстоятельствами.
Во-первых, многие учителя (последовательные приверженцы обучения исключительно на основе репродукции) активно ведут борьбу с естественными для воспитанников пробующими действиями. В результате у учащихся складывается представление о таких действиях как о чем-то недопустимом, свидетельствующем о беспомощности и безграмотности. Даже само выражение "метод проб и ошибок" употребляется ими исключительно в негативном смысле. Разумеется, в ситуации, когда заранее известно, что задача решается применением стандартного алгоритма, в пробующих действиях нет нужды (хотя, на наш взгляд, и в этом случае они гораздо полезнее, чем без-действие учащегося, не владеющего данным алгоритмом или не усматривающего возможности его применения).
В поисковых же задачах этот этап является одним из ключевых. Речь должна идти об уместности пробующих действий в конкретной ситуации, их информативности, коррекции, стратегии поиска, т.е. о более совершенном овладении методом, а вовсе не о его порочности.
Во-вторых, пробующие действия в той или иной форме участвуют в процессе решения практически всех поисковых задач. Варьирование условия, рассмотрение частных случаев (Пойа называет этот прием термином «спецификация»), перебор известных подходов по своей сути являются пробующими действиями. В этом широком смысле они являются не столько одним из методов поиска, сколько компонентом собственно продуктивного мышления.
В-третьих, пробующие действия часто играют роль "пускового механизма" в процессе решения задачи. Как известно, логический и психологический ход решения существенно различны. Многие задачи объективно могут быть решены чисто логически, без привлечения пробующих действий. Субъекту же решения для более глубокого осознания условия и включения в аналитическую деятельность эти действия необходимы.
Выделим также роль заключительной фазы предложенной схемы. Ее очевидной функцией является самоконтроль. Однако, с точки зрения формирования продуктивного мышления более важна другая функция этой фазы - накопление опыта для решения других задач. При этом идеи всегда ценнее фактов, поскольку носят более общий характер и, значит, имеют более широкие границы применимости. Ценная идея, возникнув в процессе решения, может остаться неосознанной или воспринятой слишком конкретно. Именно на стадии исследования найденного решения полезная идея имеет наилучшие шансы быть должным образом обобщенной и присвоенной субъектом решения.
Третьей важной функцией последней фазы является оптимизация решения. Значимость ее определяется не столько совершенствованием найденного решения, сколько тесной связью с вышеописанной второй функцией. Первоначальный вариант решения достаточно сложной задачи содержит, как правило, множество лишних шагов. Причем, их избыточность часто совсем не очевидна. Необходим весьма кропотливый анализ полученного решения, чтобы отделить глубокие, сущностные связи от случайных.
Вернемся к первой функции шестого этапа решения поисковой задачи - самоконтролю. Он подразделяется на два достаточно самостоятельных вида контроля. Один построен на дискурсивном рассуждении и является принадлежностью исключительно последней стадии решения. Другой осуществляется по ходу решения и уходит корнями в первую фазу - осмысление задачи. Суть этого вида самоконтроля в предвосхищении решения. У Пойа это формулируется в виде принципа: "сначала догадайтесь, а потом докажите". Конечно, далеко не в каждой задаче можно заранее предвидеть ответ. Однако, практически всегда можно более или менее точно очертить круг, в который этот ответ должен попасть. Если по ходу решения начинает вырисовываться заведомо неправдоподобный ответ, это служит сигналом к возврату на более ранние стадии решения и тщательной проверке предыдущих шагов. Такой текущий самоконтроль - очень мощный инструмент в руках опытного решателя. Кроме оценки потенциального ответа на правдоподобность опытный решатель постоянно проверяет себя вопросами типа: "не слишком ли узко очерчена область поисков?", "не является ли рассматриваемый вариант тупиковым?", "все ли данные задачи учтены?" и т.д. Отсутствие осмысления собственных действий приводит к невольному искажению условия, многократному возврату к одной и той же, уже проверенной гипотезе и другим последствиям, препятствующим успешному поиску решения. Иными словами, на всех стадиях процесса решения поисковой задачи должна активно участвовать рефлексия.
Для того чтобы помочь обучаемому пройти трудный путь поиска, опытный педагог должен знать узкие места и возможные препятствия, поджидающие ученика на этом пути.

Трудности, возникающие при решении поисковой задачи, могут иметь самое разное происхождение: слабую внутреннюю мотивацию; неразвитость познавательных интересов; подсознательную боязнь возможного неуспеха; недостаточное владение материалом, на котором построена задача; ориентировку исключительно на дискурсивные методы, неумение подключить к процессу решения образное мышление.
Но даже в ситуации, когда перечисленные выше факторы не оказывают своего негативного воздействия, обучаемый может столкнуться с множеством барьеров и трудностей, сопровождающих собственно процесс поиска. В основу предлагаемой нами систематизации трудностей этой категории положено их соотнесение с рассмотренными ранее этапами поисковой деятельности, а также с характером эвристических приемов, применяемых в процессе поиска. Приведем перечень этих трудностей, соотнесенный с предложенной нами схемой процесса решения поисковых задач:

- непонимание или неверное понимание условия и требования задачи, выпадение первой фазы процесса решения;
- пассивность, обусловленная незнанием приемов поиска;
- отсутствие стратегии или неудачная стратегия пробующих действий;
- неверное понимание цели пробующих действий в процессе решения;
- автоматическое перенесение методов и гипотез из прошлого опыта без анализа допустимости такого переноса;
- неумение выделить общие признаки из частных случаев;
- неоправданное перенесение свойств частного случая на общий;
- неумение пользоваться косвенными критериями отбора методов, применимых в данной ситуации;
- недостаточное владение эстетическими критериями первичной проверки идей;
-некритическое отношение к выдвигаемым гипотезам;
-инертность гипотез, тенденция к самоподтверждению, "зацикливание" на идее;
-неумение комбинировать различные идеи, отбрасывание гипотезы вместо ее уточнения;
- игнорирование части данных задачи или установленных ранее соотношений;
- неосознаваемое повторное использование одних и тех же данных;
- привнесение дополнительных данных в условие;
- попытки реализации технически неосуществимого плана;
- недостаточная настойчивость в реализации намеченного плана решения;
- логические ошибки в рассуждениях;
- неоднозначность требования многих поисковых задач как психологическая трудность;
- частичное или полное выпадение стадии исследования найденного решения;
- недооценка роли оптимизации найденного решения;
- недостаточно богатый арсенал приемов и способов проверки полученных результатов;
- недостаточная рефлексия по поводу своих действий на всех стадиях поиска.

Многие из перечисленных выше трудностей выглядят прямо противоположными друг другу. Практика показывает, что это не мешает им «уживаться» в сознании одного и того же школьника (студента) при решении одной и той же задачи.

Остановимся подробнее на одной, на наш взгляд, главной причине всех затруднений. Приводимая ниже рекомендация выглядит до смешного простой. Однако опыт показывает, что именно нарушение этого принципа является причиной неуспеха при решении поисковых задач в подавляющем большинстве случаев. Вот эта рекомендация: для того чтобы решить задачу, надо решать ЭТУ задачу.
По сути, этот принцип является предостережением от трудности, отмеченной нами в пятом пункте приведенного выше списка. Останавливаясь на этом моменте особо, автор подчеркивает, что по своему значению он не пятый, а, безусловно, первый.
Являясь сторонником и последователем идей уже упоминавшегося Д.Пойа, автор, тем не менее, берет на себя смелость оспорить один из советов классика. Речь идет о вопросе «известна ли вам какая-нибудь родственная задача?», который Пойа рекомендует ставить перед учащимися на ранней стадии решения.
На наш взгляд, учащиеся (привыкшие к репродуктивным задачам) и без посторонних советов, задают себе этот вопрос слишком рано и гипертрофированно часто. Бесспорно, что предшествующий опыт играет исключительно важную роль в процессе решения. Однако попытка побыстрее найти аналогичную, но уже решенную задачу чаще всего приводит к обнаружению задач аналогичных данной лишь по признаку внешнего сходства. Так происходит даже в тех случаях, когда «в багаже» у учащихся имеются действительно полезные ранее решенные задачи. В то же время, при углубленном исследовании данной задачи нужная аналогия с ранее решенными задачами, сама заявит о себе. Но в такой ситуации это будет аналогия не по форме, а по сути.

Проиллюстрируем сказанное на примере (одном из огромного числа подобных). Повторяемость ситуации, описанной в этом примере, в разные годы и с разными школьниками свидетельствует о ее объективном характере.
На факультативных занятиях учащимся восьмых (в некоторые годы девятых) классов предлагалась задача:
Какие целочисленные суммы можно набрать, имея в распоряжении достаточное количество монет достоинствами в 3 и 5 «рублей»?
Довольно скоро школьники находят верный ответ: монетами данных номиналов можно набрать любую сумму, за исключением 1, 2, 4 и 7. Однако требование преподавателя доказать правильность ответа вызывает у них затруднение. После ряда наводящих вопросов школьники приходят к выводу, что, поскольку любую сумму можно легко увеличить на число, кратное трем, для обоснования достаточно найти наименьшие представимые числа в каждой из трех групп чисел: имеющих вид 3k; представимых в виде 3k+1; задаваемых формулой 3k+2. (Отметим, что одной из целей, преследуемых преподавателем, предлагающим эту задачу, является пропедевтика основ теории сравнений: обобщая задачу на случай монет номиналов a и b, можно сформировать у учащихся понятия класс вычетов по модулю, полная система вычетов и т.п. и продемонстрировать их полезность.)
На одном из следующих занятий учащимся предлагается такая задача:
На сколько квадратов можно разрезать квадрат?
Приступая к решению, учащиеся не усматривают никакой связи с задачей о монетах. Более того, на явный вопрос преподавателя «похожа ли эта задача на задачу о монетах?» школьники уверенно дают отрицательный ответ. Ведь эта задача по геометрии, а задача о монетах была арифметической. При просьбе преподавателя назвать задачи, аналогичные данной, школьники вспоминают разобранные ранее задачи на разрезание (например, разрезать квадрат на шесть тупоугольных треугольников) и некоторые другие задачи геометрического содержания. Однако при попытке применить методы решения «аналогичных» к нынешней учащиеся убеждаются в бесполезности этой затеи. Включая механизм проб, школьники, как правило, выдвигают гипотезу, квадрат можно разрезать исключительно на квадраты, количество которых само является квадратом натурального числа. После напоминания преподавателя, что квадраты не обязаны иметь одинаковые размеры учащиеся находят способ разрезания квадрата на семь квадратов, а затем обнаруживают, что любое ранее достигнутое число легко увеличить на три, разрезая один из квадратов, участвующих в разбиении на четыре равных квадрата. Последнее наблюдение мгновенно приводит их к решению (независимо от того, спрашивал ли преподаватель о сходстве данной задачи с задачей о монетах): достаточно найти минимальное подходящее число в каждом из трех классов вычетов по модулю три. Обнаружив способы разрезания квадрата на четыре, шесть и восемь квадратов, учащиеся делают вывод, что квадрат может быть разрезан на любое число квадратов, отличное от 2, 3 и 5.
Отметим, что полезная, приведшая нас к решению, аналогия задачи о разрезании квадрата с задачей о монетах, по сути, эфемерна. Она не прослеживается при сопоставлении условий и требований этих задач. Она может не возникать и при сравнении решений. Ведь задачу о разрезании квадрата можно решить и иначе.
В самом деле, очевидное тождество $(n+1)^2 = n^2 + 2n +1$ дает нам следующий простой способ разрезания квадрата на любое четное число квадратов, начиная с четырех: вырежем из квадрата со стороной $n + 1$ квадрат со стороной $n$ и разрежем оставшийся «уголок» на квадраты со стороной 1. Чтобы разрезать квадрат на любое нечетное число квадратов, начиная с семи, достаточно применить тот же способ, а затем разрезать один из получившихся квадратов на четыре части.

Почему же, аналогия, возникающая лишь при выборе определенного метода решения, без труда обнаруживается учащимися и быстро приводит их к решению задачи, в то время как сознательные попытки решать задачи по аналогии с решенными ранее раз за разом не достигают цели? Это феномен объясняется очень просто. В рассмотренном примере осмыслению и исследованию подвергалась именно та задача, решение которой и было нашей целью. Аналогия же с другой задачей не была самоцелью, а естественно возникала в результате этого исследования.

Подведем итоги.
Основным приемом решения репродуктивной задачи является переход от ранее разобранной аналогичной задачи к данной. Попытки применить такой подход к решению поисковых задач, как правило, цели не достигают. Гораздо более эффективным в этой ситуации оказывается обратный переход: от данной задачи к аналогичной. Только он обеспечивает выявление содержательных аналогий на уровне идей и механизмов решения, а не внешнего сходства условий и обозначений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не решается задача
Сообщение24.04.2010, 20:02 
Заблокирован


12/08/09

1284
Самодуровка
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не решается задача
Сообщение24.04.2010, 20:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2602
Уфа
Просмотрел статью по диагонали. Сильно против течения плывёт. Сейчас тоже многие говорят, что "перемены необходимы в содержании образования", но подразумевают под этим совсем противоположное: переходить от поиска похожих задач с известными шаблонами решения НЕ к их творческому переосмыслению и созданию новых, А к поиску в точности такой же задачи (например, в Интернете, за деньги у однокашника, или уже заученную в своей голове) с готовым решением: "Не важно, как получено решение, важно, чтобы задача была решена". И не просто подразумевают, а уже далеко продвинулись в этом направлении :(
В связи с чем делаю осторожный вывод, что статья далековата от современных проблем образования. Понятно, что боржоми полезна для печени, но больному циррозом это знание, увы, мало помогает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не решается задача
Сообщение25.04.2010, 06:35 


15/05/05
351
Россия
Спасибо за предоставленную возможность прочитать Вашу статью.
Вспомнил о прочитанном не так давно интервью, где обсуждаются современные проблемы образования - http://www.vneshtorgclub.ru/skolkovo.html

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group