Сходимость ряда

[Ylyasha]

Пожалуйста помогите ответить на два вопроса:
1) Сходимость ряда $\sum\limits_{n = 1}^{} {\frac{1}{{\sqrt n }}}$. По признаку Даламбера $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{\sqrt n }} = 1$.
2) Сходимость ряда $\sum\limits_{n = 1}^{} {\frac{{2^n }}{{\sqrt n }}} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right)^n $

[Полосин]

1) Воспользуйтесь признаком Раабе, Гаусса или интегральным признаком.
2) Опознайте ряд Лейбница.

[ShMaxG]

Первый проще, $\[\frac{1} {{\sqrt n }} \geqslant \frac{1} {n}\]$. Признак сравнения.

[Ylyasha]

а второй можно записать так $\sum\limits_{n = 1}^{} { - \frac{1}{{\sqrt n }}} $?

[ShMaxG]

Зачем?

Вспомните признак сравнения. И - сходится ли ряд $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1} {n}} \]$.

[neo66]

Ylyasha в сообщении #312631 писал(а):

а второй можно записать так $\sum\limits_{n = 1}^{} { - \frac{1}{{\sqrt n }}} $?

Нет.

[Ylyasha]

Получается, что два этих ряда расходятся. Спасибо.

[neo66]

Ylyasha в сообщении #312635 писал(а):

Получается, что два этих ряда расходятся. Спасибо.

Я бы на Вашем месте не торопился.

[Ylyasha]

Почему? Ряд же $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} $ расходится.

[neo66]

Ylyasha в сообщении #312648 писал(а):

Почему? Ряд же $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} $ расходится.

Несомненно. Чему равно $2^n (-\frac {1}{2})^n$?

[Ylyasha]

Если n-чётное, то $2^n \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right)^n = \frac{{2^n }}{{( - 2)^n }} = 1$.
Если n-нечётное, то $2^n \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right)^n = \frac{{2^n }}{{( - 2)^n }} = - 1$.

[Alexey1]

Правильно, значит в Вашем случае получается ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$, то есть это знакочередующийся ряд. Теперь необходимо воспользоваться признаком сходимости знакочередующегося ряда.