Скалярное произведение векторов в криволинейных координатах

[klyuevd]

Как выполнить скалярное произведение векторов, если известны их криволинейные координаты? В декартовой (прямоугольной) системе все понятно и просто это сумма произведений соответсвующих координат. А как это сделать в криволинейной? Ведь в криволинейной системе координат сумма произведений координат уже не будет скалярным произведением. Единственный вариант, на мой взгляд, это перейти к декартовым координатам и выполнить в них скалярное произведение. Но это довольно громоздко. Может есть формулы для скалярного произведения непосредственно в криволинейных координатах?

[venco]

В этом случае у вас должна быть матрица $M$ скалярных произведений базисных векторов, вот её и использовать:
$u^T M v$

В ортонормальном базисе эта матрица - единичная, поэтому скалярное произведение векторов вырождается в обычное:
$u^T v$

[klyuevd]

venco в сообщении #311814 писал(а):

В ортонормальном базисе эта матрица - единичная, поэтому скалярное произведение векторов вырождается в обычное:
$u^T v$

Т.е. я правильно понял, что если криволинейная система координат ортогональная, например, цилиндрическая, сферическая, система координат параболического цилиндра и т.д., то скалярное произведение в этой системе, также как и в декартовой, будет равно сумме произведений соответсвующих криволинейных координат векторов? Т.е. (u v)=Ut Vt + Ur Vr +Up Vp, где Ut, Ur, Up - криволинейные координты вектора U, а Vt, Vr, Vp - криволинейные координаты вектора V. (t,r,p) - система ортогональных криволинейных координат.

[venco]

Не, я имел в виду просто не ортонормированные, но линейные координаты.
В цилиндрических это точно не так.

[paha]

klyuevd в сообщении #314354 писал(а):

Т.е. (u v)=Ut Vt + Ur Vr +Up Vp

нет, так точнее (если координаты ортогональные):
$(u,v)=e_t^2U_tV_t+e_r^2U_rV_r+e_p^2U_p V_p$

это называется "коэффициенты Ламэ"

[klyuevd]

paha в сообщении #314372 писал(а):

нет, так точнее (если координаты ортогональные):
$(u,v)=e_t^2U_tV_t+e_r^2U_rV_r+e_p^2U_p V_p$

это называется "коэффициенты Ламэ"

Мне кажется это неверно, так как коэфиициенты Ламе могут иметь размерность, например в цилиндрической системе координат $e_f=r$, где f - азимутальная координата, т.е. у этого коэффициента Ламе размерность метры, $e_z=e_r=1$, т.е. они безразмерные. А проекции векторов независимо от системы координат имеют одну и ту же размерность, например проекции вектора напряженности электрического поля имеют размерность В/м. Тогда получается, что слагаемые в скалярном произведении будут иметь разную размерность, а это неверно. Там должны стоять не коэффициенты Ламе, а какие-то безразмерные коэффициенты, скорее всего направляющие косинусы. Но мне нужно точно. Может кто-нибудь укажет книгу, где можно посмотреть? В той литературе, которую я смотрел, формулы скалярного произведения только для декартовой системы координат приведены. А для криволинейных нет.

[ewert]

klyuevd в сообщении #315883 писал(а):

А проекции векторов независимо от системы координат имеют одну и ту же размерность,

Только в том случае, если новые базисные векторы имеют ровно те же размерности, что и исходные. А это вовсе не обязательно. С какой стати-то?... Ну допустим, поначалу и имеют. Сделаем какую-либо произвольную замену по одной из переменных -- вмиг все размерности и собьются.

[klyuevd]

ewert в сообщении #315888 писал(а):

klyuevd в сообщении #315883 писал(а):

А проекции векторов независимо от системы координат имеют одну и ту же размерность,

Только в том случае, если новые базисные векторы имеют ровно те же размерности, что и исходные. А это вовсе не обязательно. С какой стати-то?... Ну допустим, поначалу и имеют. Сделаем какую-либо произвольную замену по одной из переменных -- вмиг все размерности и собьются.

Ну это все понятно. Меня инетресует конкретная задача. В моем случае размерности базисных векторов не меняются при переходе от одной системы координат к другой. Они вообще безразмерные в моем случае. Размерность имеют проекции векторов. Так вот имеется ортогональная криволинейная система координат, в ней заданы проекции двух векторов. Необходимо найти их скалярное произведение. Формула предложенная выше явно неверна. Почему она неверна я уже написал, при ее применении не соблюдаются размерности. Так подскажет мне кто-нибудь верную формулу?

[paha]

klyuevd в сообщении #318988 писал(а):

Так вот имеется ортогональная криволинейная система координат, в ней заданы проекции двух векторов.

Задайте эту о.к.-л. систему явно, проекции напишите.

Или сами прочитайте в интернетах про коэффициенты Ламэ.

[Serge Ts]

Сорри за некропост, но тем не менее, для тех кто набредёт на тему в будущем:

всё там правильно с размерностями. У компонент вектора в криволинейных координатах могут быть разные размерности - например, в сферических: $r$ имеет ту же размерность, что и сама величина, а $\vartheta$ и $\varphi$ безразмерные. Размерные квадраты коэффициентов Ламе как раз и нужны, чтобы слагаемые имели одинаковую размерность.