Интеграл от sin(x)/[1+sin(x)]

[Aden]

Помогите разобраться с интегралом:
$\int {\frac{{\sin x}}{{1 + \sin x}}} dx$
Решаю следующим образом
$\begin{array}{l} t = tg\frac{x}{2};\sin x = \frac{{2t}}{{1 + t^2 }};dx = \frac{{2dt}}{{1 + t^2 }}; \\ \int {\frac{{2t}}{{1 + t^2 }} \cdot \frac{2}{{1 + t^2 }}\frac{{dt}}{{(1 + \frac{{2t}}{{1 + t^2 }})}}} = 4 \cdot \int {\frac{{tdt}}{{\left( {1 + t^2 } \right)\left( {t + 1} \right)^2 }}} \\ \end{array}$.
А как дальше или у меня неверно?

[Henrylee]

А почем не попроще? $y=\pi/2-x$, а потом к половинному углу

[Aden]

Поясните пожалуйста.
$\sin (\frac{\pi }{2} - x) = \cos x$???

[Alexey1]

А можно ещё умножить числитель и знаменатель на $1-\sin(x)$.

[Mitrius_Math]

$\int {\frac{{\sin x}}{{1 + \sin x}}} dx=\int {\frac{{1+ \sin x - 1}}{{1 + \sin x}}} dx=\int dx - \int {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} = ... \\ t= \tg \frac{x}{2}$

[Aden]

да, что-то легче не стало

$\int {\frac{{\sin x \cdot \left( {1 - \sin x} \right)}}{{\cos ^2 x}}} dx = \int {\frac{{\sin x - \sin ^2 x}}{{\cos ^2 x}}} dx$

[Alexey1]

Aden в сообщении #311547 писал(а):

да, что-то легче не стало

$\int {\frac{{\sin x \cdot \left( {1 - \sin x} \right)}}{{\cos ^2 x}}} dx = \int {\frac{{\sin x - \sin ^2 x}}{{\cos ^2 x}}} dx$

Почему же не стало? Теперь у Вас два интеграла. Первый вычисляется простой подстановкой. Второй можно опять разделить на два интеграла, самый сложный из которых $\int \frac{1}{\cos(x)^2}dx=\tan(x)+C$.

[Aden]

Ответ получился
$ - \frac{{\sin x + x}}{{\cos x}}$

[Mitrius_Math]

Можно проверить дифференцированием.

[Henrylee]

Aden в сообщении #311533 писал(а):

Поясните пожалуйста.
$\sin (\frac{\pi }{2} - x) = \cos x$???

Поясняю
$\sin x= \cos y$, $1+\cos y=2\cos^2(y/2)$

[Aden]

Всё равно не понимаю как это можно применить...

[Henrylee]

Aden в сообщении #311862 писал(а):

Всё равно не понимаю как это можно применить...

А чемго там понимать, это будет знаменатель. В числителе константа (после выделения единицы из дроби). Получился тангенс...

[arqady]

Henrylee в сообщении #311974 писал(а):

А чемго там понимать, это будет знаменатель. В числителе константа (после выделения единицы из дроби). Получился тангенс...

Вот вот! У нас на зимнем выпускном экзамене был такой интеграл. Подавляющее большинство школьников всего этого не увидело.