Радиус сходимости степенного ряда

[Yernar]

$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac {(x- \frac {3}{2}) ^{2n}}{\sqrt {n}+4^n}$
По формуле Коши-Адамара я нашел, что радиус сходимости равен 4. Интервал сходимости: (-5/2, 11/2). Однако, если подставить x = 9/2 из этого интервала, то получится, что ряд расходится: даже общий член стремится к бесконечности.

[ИСН]

Задам простой вопрос. Есть ряд $x^n\over 2^n$; какой будет радиус сходимости?

(Оффтоп)

Да, коллеги, я сторонник наводящих вопросов. Please play along. Следующий будет про другой ряд.

[Yernar]

2

[ИСН]

Так, хорошо. Теперь другой вопрос. Есть ряд $x^{2n}\over 4^n$; а тут какой радиус?

[Yernar]

Ну, кажется 4

[ИСН]

Кажется? Ладно, этот пока отодвинем в сторону. А теперь, пожалуйста, вот такой: $x^n\over 4^n$.

[Yernar]

У этого радиус равен 4.
Значит у ряда $\frac {x^{2n}}{4^n}$ радиус равен 2? Но как это обосновать? Если рассуждать так: $a_{0}=0, a_{1}=0, a_{2}=\frac{1}{4}, a_{3}=0,a_{4}=\frac{1}{16},...$. Почему нельзя использовать формулу с использованием верхнего предела? Если использовать ее получим R=4.
Получается ряд $\frac {x^{2n}}{4^n}$ надо представить в виде $(\frac {x^{n}}{2^n})^{2}$. Но ведь это будет же не степенной ряд?

[ИСН]

Ага, так-то лучше.
Линию рассуждений "почему нельзя формулу" продолжу так: потому что. Вместе с формулой надо помнить условия её применения, а тут какое-то из них полетело.
Линию рассуждений "надо представить в виде" продолжу так: представьте в виде $(x^2)^n\over 4^n$.

[Yernar]

Теперь понятно. Спасибо за помощь.

-- Вт апр 20, 2010 17:36:34 --

Еще вопрос. Если обозначить $y=x^{2}$, то можно ли говорить, что "радиус сходимости для переменной y" равен 4, а для переменной х - 2? Я имею в виду, можно ли вообще употреблять такую терминологию?

[Padawan]

ИСН
Извините, но, что то Вы мудрите чересчур...
$\dfrac{1}{R}=\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[2n]{a_{2n}}=\ldots$

[ИСН]

Как считаю нужным, так и мудрю. Для Вас (для нас), положим, такие умозаключения прозрачны, как вода: одно к другому, два эн, радиус такой-то. Но ведь это умение не в генах записано, а достигается практикой. Каждый человек должен всё это проделать более-менее сам. "Онтогенез повторяет филогенез", помните?
Yernar, упоминание про замену переменной формально возможно, но избыточно; пишите лучше так, как сказал Padawan, если понимаете, откуда это и почему.

[ewert]

Yernar в сообщении #311387 писал(а):

Еще вопрос. Если обозначить $y=x^{2}$, то можно ли говорить, что "радиус сходимости для переменной y" равен 4, а для переменной х - 2? Я имею в виду, можно ли вообще употреблять такую терминологию?

Можно, но желательно быть аккуратным в обоснованиях.

Известно, что любой степенной ряд с центром в нуле (а Ваш именно степенной) расходится при $|x|>R$ и сходится при $|x|<R$ для некоторого $R$.

Ваша же замена сводит Ваш ряд к такому, для которого радиус сходимости очевиден: в новой переменной ряд заведомо сходится при $|y|<4$ и заведомо расходится при $|y|>4$. Т.е. для исходной переменной, соотв., -- при $|x^2|<4$ и при $|x^2|>4$. Теперь тупо решаем эти тривиальные (в данном случае тривиальные) неравенства.