Системка дифуров

[вздымщик Цыпа]

Допоможите, плиз, с системкой дифуров. В компактном виде выглядят так:

$$\left\{ \begin{aligned} &((1-x)e^\lambda)''((1+x)e^{-\lambda})^3 = A\\ &((1-x)e^\lambda)^3((1+x)e^{-\lambda})'' = -B \end{aligned} \right.$$

$\lambda = \lambda(x)$, штрих — дифференцирование по $x$, $|x|<1$, $A$ и $B$ константы.

Не студент, не халявщик. Just for fun. Просто уже устал медитировать и пробовать то так, то сяк.

Хорошо бы увидеть, как оно сводится к чему-то известному и неразрешимому в элементарных функциях и успокоиться

[Хорхе]

UPD: Враки, куб не написал

[ewert]

А что это вообще за зверь такой -- система из двух уравнений для одной функции?...

[V.V.]

Если продифференцировать первое уравнение и сократить на квадрат, потом сделать аналогичную операцию со вторым, а потом еще и сложить полученные выражения, то получится
$(1-x^2)e^{2\lambda(x)}=C_0+C_1x+C_2x^2$.
Дальше можно подставить $e^{\lambda}$ в оба уравнения и найти, существуют ли такие $C_i$ или нет.

[вздымщик Цыпа]

V.V. в сообщении #311140 писал(а):

Если продифференцировать первое уравнение и сократить на квадрат, потом сделать аналогичную операцию со вторым, а потом еще и сложить полученные выражения, то получится

Нет, к сожалению не получится. Чтобы получить полную третью производную надо сократить не только на квадраты, но и на экспоненты. Этим я уже игрался.

$f=(1-x)e^\lambda$, $g=(1+x)e^{-\lambda}$

$\dfrac{(f''g^3)'}{g^2} + \dfrac{(g''f^3)'}{f^2} = (fg)'''$, т.е. получается $(1-x^2)''' = 0$, что и так понятно.

[V.V.]

Зачем экспоненты сокращать?

У Вас выражение $Y''Z^3=A$. Продифференцируем: $Y'''Z^3+3Y''Z'Z^2=0$, сократим на $Z^2$, получим $Y'''Z+3Y''Z'=0$, из второго аналогично получим $3Y'Z''+YZ'''=0$, сложим...

[Хорхе]

V.V. в сообщении #311287 писал(а):

Продифференцируем: $Y'''Z^3+3Y''Z'Z^2=0$, сократим на $Z^2$, получим $Y'''Z+3Y''Z'=0$, из второго аналогично получим $3Y'Z''+YZ'''=0$, сложим...

вздымщик Цыпа в сообщении #311165 писал(а):

получается $(1-x^2)''' = 0$, что и так понятно.

[вздымщик Цыпа]

Нашел (угадал, подобрал) по одному однопараметрическому семейству частных решений каждого из уравнений:

$\lambda_1(x) = -\ln\left(\sqrt{\dfrac{A}{2(C_1^2 - 1)}}\ \dfrac{1-C_1x}{1+x}\right)$

$\lambda_2(x) = \ln\left(\sqrt{\dfrac{B}{2(1-C_2^2)}}\ \dfrac{1+C_2x}{1-x}\right)$

Первое ч.р. при подстановке во второе уравнение дает $0$ при любом $C_1$. Аналогично, второе ч.р. при подстановке в первое уравнение.

Понятное дело, никто не гарантирует, что при любых $A$ и $B$ система совместна. Однако, чтоб убедиться в том, что общих решений нет при $AB\ne 0$, однопараметрических семейств ч.р. мало.