Скорость частицы в электрическом поле

[age]

В литературе прочитал следующее:
Одномерное уравнение движения частицы с зарядом $e$ и массой $m$ в однородном поле с постоянной напряженностью $E$ имеет вид:
$m\dfrac{d^2x}{dt^2}=eE$.
Откуда получается выражение для скорости через время $t$:
$v(t)=\dfrac{eEt}{m}$.
Но несложно убедиться, что для электрона при интервале времени $t=10^{-10}$ сек и напряженности поля выше 17 МВ/м $E>17000000$ В наступает превышение скорости света:

$v(t)=\dfrac{1,602\cdot10^{-19}\cdot17\cdot10^6\cdot10^{-10}}{9,1\cdot10^{-31}}=298999335$ м/с.

[Парджеттер]

age в сообщении #311019 писал(а):

Но несложно убедиться, что для электрона при интервале времени $t=10^{-10}$ сек и напряженности поля выше 17 МВ/м $E>17000000$ В наступает превышение скорости света

Ваше уравнение движения справедливо при $v \ll c$. Так что не прокатит.

[age]

Так собственно и вопрос, как полагает классическая физика должно измениться уравнение при параметрах системы, близких к релятивистским, т.е. задать напряжение в 17 МВ на конденсаторе - несложно. Время импульса между обкладками, порядка 0,1 нс на скорости света соответствует пути 3 см. Такое расстояние между обкладками тоже вполне реально.

Другими словами, если на две обкладки, между которыми закачан водород на расстоянии в 5 см подать 17 мегавольт, то электроны разгонятся быстрее скорости света.

Поэтому, как видно, условия не запредельные, а вполне лабораторные, поэтому очень интересует, какое уравнение для скорости будет на самом деле?

[spaar]

масса увеличивается с ростом скорости:
$ m = \dfrac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $

[age]

spaar
На мой взгляд не совсем корректно, т.к. НЕ масса выступает движущей силой при электрическом взаимодействии, но тогда можно было бы просто по предложенному вами принципу уменьшить заряд электрона:
$e = e_0\cdot\sqrt{1 - v^2/c^2}}$, но и это не совсем корректно, т.к. трудно предположить что заряд со скоростью меняется, скорее меняется сила электростатического взаимодействия, а она как раз представлена в формуле как $eE$? или я ошибаюсь?
Но и тут на мой взгляд будут сложности. Разобраться поможет аналогия заряда в электростатическом поле с крошкой пенопласта в трубопроводе. Очевидно, что как ни крути, а быстрее воды в потоке она не поплывет и ее скорость будет тем ближе к скорости потока, чем она легче, чем менее текучей жидкость (т.к. сверхтекучая ее просто обогнет). По аналогии поле и электрон обладают определенной связью, и то как быстро поле "захватывает" электрон и доводит его до своей скорости - зависит от некоторых параметров электрона и поля (по аналогией с жидкостью).
И вот с этой точки зрения, я думаю, возможно найти корректное описание (уравнение).

[Парджеттер]

age в сообщении #311150 писал(а):

Так собственно и вопрос, как полагает классическая физика должно измениться уравнение при параметрах системы, близких к релятивистским

Классическая физика на этот счет ничего не полагает и не должна полагать, т.к. она "не знает" ничего про скорости порядка $c$.

[spaar]

age
Масса выступает мерой инерции. Вы же сами написали:
$ ma = eE $.
В эту формулу и нужно подставить зависящую от скорости массу. По мере приближения к скорости света масса будет увеличиваться до бесконечности. Соотвественно, ускорение $a$ будет приближаться к нулю.

[age]

spaar
В том-то и дело, что мне совсем не нравится соотношение:
$ma = eE$. Из него следует:
$v(t)=\dfrac{eEt}{m}$.
Далее, учитывая, что $E=\dfrac US$ (вольт на метр), то приходим к новой формуле:
$v(t)=\dfrac{eUt}{Sm}$. Из которой, учитывая, что $\dfrac St=v(t)$ приходим к не менее забавному соотношению:
$v^2(t)=\dfrac{eU}{m}$ Или:
$v(t)=\sqrt{\dfrac{eU}{m}}$.
Т.е. скорость не зависит ни от пройденного пути, ни от времени, а только от статических характеристик системы:
- электрического заряда;
- поданного напряжения;
- массы электрона.
Грубо говоря, в этом уравнении скорость статична.

[libra]

Во-первых, в последней формуле еще коэффициент потеряли (скорость-то не постоянная, нужно интегрировать по-правилам):
$v=\sqrt{\dfrac{2eU}{m}}$.
Во вторых, это просто запись закона сохранения энергии: смысл напряжения - потенциальная энергия на единицу заряда.
Аналогично: сбрасывая тело с разных высот, при падении будете получать скорость, зависящую только от высоты.

[spaar]

age в сообщении #311978 писал(а):

В том-то и дело, что мне совсем не нравится соотношение:
$ma = eE$. Из него следует:
$v(t)=\dfrac{eEt}{m}$.

Нет, такое из него не следует.
Следовало бы при постоянной массе, но она, как было написано ранее, таковой не является.

[age]

libra в сообщении #311986 писал(а):

Во-первых, в последней формуле еще коэффициент потеряли (скорость-то не постоянная, нужно интегрировать по-правилам):
$v=\sqrt{\dfrac{2eU}{m}}$.

Ну и что? Все равно скорость здесь - статичная величина. Всегда одинакова. Бред.

spaar
А я вот ранее писал, что электричество и масса понятия весьма далекие, поэтому само равенство $ma=eE$ выглядит весьма глупо. Хотя бы даже если перейти к единицам измерения: слева килограмм-метры на секунду в квадрате, а справа?

[libra]

age в сообщении #312137 писал(а):

Ну и что? Все равно скорость здесь - статичная величина. Всегда одинакова. Бред.

Вы можете внятно объяснить: что здесь бредового? Вся потенциальная энергия перешла в кинетическую, определив конечную скорость v.

[spaar]

age
Ха-ха, Вас, оказывается, волнует отнюдь не превышение скорости света... Вы чего хотите-то?

age в сообщении #312137 писал(а):

электричество и масса понятия весьма далекие

Почему же? В предположении, что у электрона есть и масса, и заряд, они оказываются очень даже рядышком - электрон-то маленький.

age в сообщении #312137 писал(а):

само равенство $ma=eE$ выглядит весьма глупо

Расскажите об этом электронно-лучевой трубке. Или синхрофазатрону, если удастся встретиться. Они ещё не знают. А я с Вами более не разговариваю.

[age]

Про массу:
Масса "ни к селу ни к городу", т.к. она никаким боком не участвует в электростатических взаимодействиях. Да и глупо предполагать, что масса, как мера инерции, способна оказывать влияние на электростатические взаимодействия. Допустим, в отсутствии гравитации масса равна нулю. Поэтому ну не вижу я обратного влияния массы на скорость разгона электрона в поле. А вопрос очень важный.

[мат-ламер]

Можно решать через импульс. Типа, производная от импульса равна внешней силе. А импульс зависит от скорости сложным образом. Надо учесть, что масса увеличивается при увеличении скорости. Получается дифференциальное уравнение.