Найти высоту цилиндра

[NeBotan]

Такая задачка:

Чему равна высота цилиндра максимального объема, вписанного в конус высотой H?

Тупняк в том, что никак не могу понять, как записать уравнение связи для радиуса-высоты цилиндра?
У меня получилось только система неравенств:
$\left\{\begin{matrix} V=\pi r^2h\\ h\leq H \end{matrix}\right.$

Знаю, что ответ равен $h=H/3$, но хотелось бы разбораться, как ее найти.

[vvvv]

Задайтесь радиусом основания конуса- R (пусть это будет буква R или, вообще, единица).
За переменную выберите высоту h , искомого цилиндра.
Выразите объем вписанного в конус цилиндра через H,h,R.
Найдите производную от объема вписанного цилиндра по h.
Приравняйте найденную производную нулю и решите, полученное уравнение.
Получите два решения: h=H/3 и h=H. т.е. максимум и минимум объема

[ewert]

NeBotan в сообщении #310789 писал(а):

Тупняк в том, что никак не могу понять, как записать уравнение связи для радиуса-высоты цилиндра?

Нарисуйте осевое сечение и разберитесь с получившимися подобными треугольниками.

[vvvv]

Картинка такая

[NeBotan]

спасибо большое! особенно за формулу на картинке. Почти моментально дошло! с меня пиво!)

[vvvv]

Пожалуйста, только от Москвы до Одессы далековато

[NeBotan]

ну, если буду проездом, то отпишусь!