Девять версий доказательства теоремы Ферма:
Прилагаемые версии основаны на двух теоремах: из работы автора (геометрия чисел III) и теореме Пифагора. Выбранная форма доказательства в виде решения задач автору представляется наиболее оптимальной и позволяет быть максимально кратким (что написано в знаках – в знаках должно быть разрешено)
Теорема 5. (Рабочий вариант без формулировки)
Для произвольных (х, у )
1)
2)
3)
4)

Задача 1: Выразить сумму переменных (x,y) в произвольной степени (x,y) –натуральные числа
Решение:
![$x^n+y^n=\left[c\sqrt[n]{\frac{x^n+y^n}{c^n}}\right]^n$ $x^n+y^n=\left[c\sqrt[n]{\frac{x^n+y^n}{c^n}}\right]^n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/3/bb3997544b971012cbf7ff5ae733e0a282.png)
Приняв
![$z=\left[c\sqrt[n]{\frac{x^n+y^n }{c^n}}\right]^n$ $z=\left[c\sqrt[n]{\frac{x^n+y^n }{c^n}}\right]^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/a/caac23671b152dd00c238cd7cd9e8f9882.png)
Приведенная формула верна для всех действительных чисел и позволяет определять z для всех произвольных (x,y) в произвольной же степени. Доказывать, что z не может выражаться натуральным числом при

ерное нет необходимости.
Задача 2. Определить область значения (z) в уравнении

(x,y) –натуральные числа
Решение.
Преобразуем уравнение и напишем его в виде

Следовательно z определен на интервале
![$x<z<x\sqrt[n]{2-\frac{1}{R+1}}$ $x<z<x\sqrt[n]{2-\frac{1}{R+1}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/c/52c9bfc54b1814c1b43ac1199b8fa0ba82.png)
или
![$x<z<\sqrt[n]{2}x$ $x<z<\sqrt[n]{2}x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84d267c2e40a67168122aa24b62577b982.png)
![$\sqrt[n]{2}x$ $\sqrt[n]{2}x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/e/eee475326c7ca39a5993f8741d35c51282.png)
- максимальное значение. На этом интервале есть одно целое число

Допустим что

Т.е.,

;
Т.е.,
![$x=\frac{x(2R+1)}{\sqrt[n]{2}(R+1)}$ $x=\frac{x(2R+1)}{\sqrt[n]{2}(R+1)}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/7/1b77a53718f50df46561afdd020070e382.png)
;
![$y=\frac{(2R+1)}{\sqrt[n]{2}(R+1)}$ $y=\frac{(2R+1)}{\sqrt[n]{2}(R+1)}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/a/95a461f4594cda7575a60c811df9e40a82.png)
Что не соответствует условию задачи. Это означает, что z не имеет целых значений на интервале
![$x<z<\sqrt[n]{2}x$ $x<z<\sqrt[n]{2}x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84d267c2e40a67168122aa24b62577b982.png)
для натуральных x,y .
Задача 3. Выразить отношение переменных x, y, z в уравнении

для произвольного z – (z-натуральное число)
Решение.
Запишем уравнение в виде
![$x=z\sqrt[n]{\frac{R^2}{(R+1)^2}}$ $x=z\sqrt[n]{\frac{R^2}{(R+1)^2}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/f/11f49227d5fcc3aaac42fdab5996ef8182.png)
;
![$y=z\sqrt[n]{\frac{2R+1}{(R+1)^2}}$ $y=z\sqrt[n]{\frac{2R+1}{(R+1)^2}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/a/64a67335e2ea32703cbc956c011d79da82.png)
Подставив значения x,y в уравнение, имеем
![$\left[z\sqrt[n]{\frac{a^2}{(c^2)}}\right]^n+\left[z\sqrt[n]{\frac{b^2}{c^2}}\right]^n$ $\left[z\sqrt[n]{\frac{a^2}{(c^2)}}\right]^n+\left[z\sqrt[n]{\frac{b^2}{c^2}}\right]^n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/c/58cd43d7f86a34e72960800ddd33f31d82.png)
Формула выражает

в виде суммы слагаемых в произвольной степени

и отношение переменных в уравнении равно

Приведенная методика использования теоремы(5) позволяет решать уравнения трех неизвестных.
![$y=\sqrt[m]{\frac{z^c(2R+1)}{(R+1)^2}}$ $y=\sqrt[m]{\frac{z^c(2R+1)}{(R+1)^2}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/a/dca69efa6555324f638315606468026582.png)
(z;R – произвольные) (ответ для Maт из Краснодара)
Задача 4.Определить

в уравнении

если

и

произвольные натуральные числа.
Решение.
Для произвольных

и

есть
![$y=z\sqrt[n]{1-\frac{R^n}{(R+1)^n}}$ $y=z\sqrt[n]{1-\frac{R^n}{(R+1)^n}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/d/62d78520a66c9271c81663ad6862789282.png)
Т.е., уравнение запишется в виде
![$y=z\sqrt[n]{1-\frac{R^n}{(R+1)^n}}$ $y=z\sqrt[n]{1-\frac{R^n}{(R+1)^n}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/d/62d78520a66c9271c81663ad6862789282.png)
Можно сколь угодно долго изощряться в алгебрологических действиях, однако выразить натуральное y возможно только при n=2

Задача 5. Выразить

в виде суммы двух слагаемых в той же степени.
Решение

![$x=\left[z\sqrt[n]{\frac{a^2}{c^2}}\right]^n$ $x=\left[z\sqrt[n]{\frac{a^2}{c^2}}\right]^n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/5/6452fa84c3a83ed10263b20f4b667ffc82.png)
![$y=\left[z\sqrt[n]{\frac{b^2}{c^2}}\right]^n$ $y=\left[z\sqrt[n]{\frac{b^2}{c^2}}\right]^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/0/430f469b20ec0c72b1464ca4bd52165e82.png)
Т.е.,
![$\left[z\sqrt[n]{\frac{a^2}{c^2}}\right]^n+\left[z\sqrt[n]{\frac{b^2}{c^2}}\right]^n=z^n$ $\left[z\sqrt[n]{\frac{a^2}{c^2}}\right]^n+\left[z\sqrt[n]{\frac{b^2}{c^2}}\right]^n=z^n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/d/26d5c4bfe02095d3f6029fbf289eb72082.png)
Если a=b,
![$z^n=\left[\frac{z}{\sqrt[n]{2}}\right]^n+\left[\frac{z}{\sqrt[n]{2}}\right]^n$ $z^n=\left[\frac{z}{\sqrt[n]{2}}\right]^n+\left[\frac{z}{\sqrt[n]{2}}\right]^n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/a/e7acba6fefb07f6fa76e697f34918ad082.png)
Т.е.,
![$(a+b)^n=\left[z\sqrt[n]{\frac{a^2}{c^2}}\right]^n+\left[z\sqrt[n]{\frac{a^2}{c^2}}\right]^n$ $(a+b)^n=\left[z\sqrt[n]{\frac{a^2}{c^2}}\right]^n+\left[z\sqrt[n]{\frac{a^2}{c^2}}\right]^n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/b/34b8f9896312a536c1e35e37cf6f30a282.png)
Остальные версии в виде решения геометрических задач в следующих сообщениях.