Определённый интеграл от ln(x)/[1+exp(x)] (0,infinity)

[Imperator]

Как можно вычислить такой определенный интеграл
$\int_{0}^{\infty}\frac{\ln{x}}{e^{x}+1}\,dx$?

[Котофеич]

Imperator писал(а):

Как можно вычислить такой определенный интеграл
$\int_{0}^{\infty}\frac{\ln{x}}{e^{x}+1}\,dx$?

Нужно попросить осла , чтобы скачал стандартный пакет

[juna]

Вообще-то, интеграл подобного рода из разряда неберущихся.

[незваный гость]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Вообще-то, интеграл подобного рода из разряда неберущихся.

Вы, наверное, имели в виду неопределенный интеграл. Поскольку ответ -- $-\frac{(\ln 2)^2}{2}$ -- имеется. Осталось понять, как.

[juna]

Да, Вы правы, на пределы я не обратил внимания. Тогда найти обоснование результату Maple или Mathcad нелегко. Может как-то помогает такое разложение:
$ln(x)=(\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+..+\frac{1}{x})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2^2}+ \frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+..+\frac{1}{x^2})+\frac{1}{3}(\frac{1}{2^3}+ \frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+..+\frac{1}{x^3})+...$
Хотя сам серьезно об этом не думал...

[Brukvalub]

А , может, перейти в комплексную плоскость и позвать вычеты?

[Котофеич]

Brukvalub писал(а):

А , может, перейти в комплексную плоскость и позвать вычеты?

Нет, достаточно позвать хороший толстый справочник с интегралами, а если его нету, то нужно применить интегрирование по частям и построить соответствующий числовой ряд, а потом смотреть что это за ряд...

[незваный гость]

Котофеич писал(а):

нужно применить интегрирование по частям

Интересно, а по каким частям? Что заносим по дифференциал?

1. $1$
2. $\ln x$
3. $\frac{1}{{\rm e}^x+1}$
4. другое?

[juna]

Следуя советам Котофеича, нашел в справочнике:
$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{lnx}{e^x+a}dx=a^{-1}(\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{(-a)^k}{k}lnk)-Cln(1+a))$; $-1<a<=1$

[Котофеич]

незваный гость писал(а):

:evil:
Интересно, а по каким частям? Что заносим по дифференциал?

Под дифференциал очевидно нужно заносить xlnx-x. Это убивает особенность подинтегральной функции в нуле. В противном случае особенность будет разростаться.

[Котофеич]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Следуя советам Котофеича, нашел в справочнике:
$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{lnx}{e^x+a}dx=a^{-1}(\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{(-a)^k}{k}lnk)-Cln(1+a))$; $-1<a<=1$

Да есть и такое разложение, но мое разложение сходится быстрее, хотя и
это разложение вполне пригодно для вычислений если а>0. Но не нужно надеяться на справочники,потому что нужные книги имеют свойство прятаться.

[juna]

А Ваше разложение - это какое ? Если не затруднит - приведите его, пожалуйста. Мы поанализируем на предмет быстроты сходимости в заданном диапазоне для $a$. Или хотя бы идею подкиньте, что Вы там группируете.

[Котофеич]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

А Ваше разложение - это какое ? Если не затруднит - приведите его, пожалуйста. Мы поанализируем на предмет быстроты сходимости в заданном диапазоне для $a$. Или хотя бы идею подкиньте, что Вы там группируете.

После интегрирования по частям у Вас будет интеграл от функции

${\frace({xlnx-x})e^x}/({e^x+a})^2$; далее выражение
${\frace(e^x)/({e^x+a})^2$; заменяется эквивалентным выражением ${\frace(e^(-x))/({ae^(-x)+1})^2$; которое разлагаем в ряд (прогрессия) по степеням exp(-x) Полученный после почленного умножения на функцию (xlnx-x) ряд, легко интегрируется почленно. Таким макаром должно получиться то что хотели.

[maxal]

Котофеич писал(а):

:evil: Нужно попросить осла , чтобы скачал стандартный пакет

Можно ничего не скачивать.
"Интегратор" пакета Mathematica свободно доступен в он-лайне по запоминающемуся адресу: integrals.com

[Аурелиано Буэндиа]

Ну, тогда можно свести к ряду

$$ \int_0^{\infty} \frac{\ln(x)}{e^x+1}dx= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\left(\frac{\ln n}{n}+\frac{\gamma}{n}\right) = -\frac{(\ln 2)^2}{2} $$