Область сходимости ряда

[NatNiM]

Найти область сходимости указанного ряда. Ответ записать в виде промежутков и их объединений
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqipfYlH8qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4uaiabg2 % da9maaqahabaGaaGioamaaCaaaleqabaGaamOBaaaakiaadIhadaah % aaWcbeqaaiaaiodacaWGUbaaaOGaci4CaiaacMgacaGGUbWaaeWaae % aadaWcaaqaaiaadIhaaeaacaWGUbaaaaGaayjkaiaawMcaaaWcbaGa % amOBaiabg2da9iaaigdaaeaacqGHEisPa0GaeyyeIuoaaaa!48BC! \[ S = \sum\limits_{n = 1}^\infty {8^n x^{3n} \sin \left( {\frac{x}{n}} \right)} \]$
Использую признак Даламбера:
$\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{8^{n + 1} x^{3n + 3} \sin \left( {\frac{x}{{n + 1}}} \right)}}{{8^n x^{3n} \sin \left( {\frac{x}{n}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{8x\sin \left( {\frac{x}{{n + 1}}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{x}{n}} \right)}} \] $
Что можно сделать с синусами? Там неопределенность. Можно использовать правило Лопиталя?
Спасибо.

[paha]

не надо лопиталя

используйте эквивалентность $\sin a\sim a$, $a\to 0$

[Ales]

Да, правило Лопиталя. Или разложить синус по формуле Тейлора.
Или эквивалентность. Это все одно и то же.
Обратите внимание, Вы потеряли тройку: $8x^3$, а не $8x$.

[NatNiM]

Спасибо за ошибку.
Спасибо за ответы

-- Чт апр 15, 2010 14:10:14 --

Подскажите, пожалуйста, что можно использовать при проверке на сходимость на границах области сходимости.

[NatNiM]

[quote="NatNiM в сообщении #309824"]Спасибо за ошибку.
Спасибо за ответы

-- Чт апр 15, 2010 14:10:14 --

[Ales]

NatNiM в сообщении #309824 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, что можно использовать при проверке на сходимость на границах области сходимости.

А что на границах, как выглядит ряд?

[ewert]

NatNiM в сообщении #309824 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, что можно использовать при проверке на сходимость на границах области сходимости.

Ровно ту же эквивалентность.

Есть, правда, ньюанс: на знакочередующейся точке границы придётся произнести пару заклинаний про монотонное убывание. Но это -- ловля блох.