Около теоремы Стоуна-Вейерштрасса

[id]

Цитата:

Suppose X is a compact Hausdorff space and A is a subalgebra of C(X,R) which contains a non-zero constant function. Then A is dense in C(X,R) if and only if it separates points

Рассмотрим $L_0:=span \{x^i\}_{i=1}^{\infty}$. Интересуют вопросы
1) Плотно ли $L_0$ в $C([\varepsilon,1]), \varepsilon > 0$
2) Плотно ли $L_0$ в $C([-1,-\varepsilon] \cup [\varepsilon,1]), \varepsilon > 0$
3) Плотно ли $L_0$ в $L^2 [-1,1]$
Кольцо $L_0$ не содержит констант, поэтому прямое применение т-мы невозможно и дальше будут "соображения".

1) Пусть $L$ - замыкание $L_0$. Покажем, что $L$ содержит константы, что позволит сразу применить т-му Стоуна к алгебре $L$ и получить плотность $L_0$

Рассмотрим алгебру $M:=span \{x^i\}_{i=0}^{\infty}$ в пространстве $C[-1,1]$, она удовлетворяет условиям т-мы.
Поэтому $\forall \ 1>> \delta >0$ будем равномерно приближать полиномами непрерывную ф-ю $f$, равную $2$ на $[\varepsilon,1]$; $-2$ на $[-1,-\varepsilon]$ и линейную на $[-\varepsilon,\varepsilon]$.
Пусть $P_{\delta}$ - соответствующий полином, приближающий $f$ с точностью $\delta$. Он может содержать некоторый константный член, который мы и вычтем.
При этом не могут одновременно приблизиться к $0$ оба "почти константных" кусочка. Тот, который дальше от $0$, ренормализуем и возьмем в качестве нужного приближения $1$ в $C([\varepsilon,1])$.

Значит, $L$ содержит константы.

2) Что-то, думаю, можно придумать, приближая непрерывную ф-ю на квадрате комплексной плоскости, но тут у меня кое-какие сомнения есть.

3) Следует из 2), если оно верно.


Верно ли? Что делать с 2) ?

[RIP]

Что-то я не понимаю, в чём проблема с 2. Берём любую непрерывную на $[-1,-\epsilon]\cup[\epsilon,1]$ функцию. Продолжаем её до непрерывной на $[-1,1]$, равной нулю в нуле (например, линейно на $[-\epsilon,0]$ и $[0,\epsilon]$). Приближаем её многочленом с точностью $\delta$. Вычитаем нулевой коэффициент (который не больше $\delta$ по модулю). Получаем элемент $L_0$, который приближает нашу функцию с точностью $2\delta$.

[ewert]

id в сообщении #309683 писал(а):

3) Плотно ли $L_0$ в $L^2 [-1,1]$

Конечно, причём сразу. В $L^2 [-1,1]$ плотно $C^1_0 [-1,1]$ -- мн-во непрерывно дифференцируемых (да и хотя бы только в нуле дифференцируемых) функций, равных нулю в нуле. Каждая такая функция после деления на $x$ равномерно приближается просто многочленом.

[id]

RIP
ewert
Спасибо!

Вопрос закрыт.

[Padawan]

Есть дополнение к теореме, в которой не требуется, чтобы $A$ содержала единицу. Тогда замыкание $A$ в $C(X)$ есть либо $C(X)$, либо $C_a(X)$ -- множество всех функций, равных нулю в фиксированной точке $a\in X$.

[id]

Padawan
Припоминаю, что Вы об этой версии как-то говорили.
Вот только где бы это дело посмотреть?

[Padawan]

В книжке М. А. Наймарка "Нормированные кольца" есть.

[id]

Padawan
Посмотрел, убедился.
Спасибо!