Теорвер! Задача про избирателей!

[integral2009]

Каждый избиратель независимо от остальных избирателей, отдает свой голос за кандидата $A$ с вероятностью $p_A=0,4$, за кандидата $B$ - с вероятностью $p_B=0,6$. Оценить вероятность того, что в результате голосования на избирательном участке ($n=5000$ избирателей) один из кандидатов опередит другого

1) ровно на $m=1900$ голосов
2) не менее, чем на $m=1900$

Правильно ли решил?!

Зададимся вопросом - сколько голосов должен набрать кандидат $A$, чтобы опередить кандидата $B$ на $m=1900$ голосов?

$k=\dfrac{5000-1900}{2}+1900=3450$

Столько же голосов нужно набрать кандидату $B$, чтобы опередить кандидата $A$ ровно на $m=1900$ голосов.

2)
Используем интегральную теорему Лапласа.

Вероятность того, что кандидат $A$ наберет от $t_1=3450$ до $t_2=5000$ голосов

$p(t_1 \le t \le t_2) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{t_1}^{t_2}e^{-\frac{x^2}{2}}$

$t_1=\dfrac{k-np_A}{\sqrt {n\cdot p_A\cdot p_B}}\approx \dfrac{1450}{34,641}\approx 41,857$

$t_2=\dfrac{n-np_A}{\sqrt {n\cdot p_A\cdot p_B}} \approx \dfrac{3000}{34,641} \approx 86,603$

$p(t_1 \le t \le t_2) \approx 0$

В чем дело?!

[PAV]

В первом пункте решения пока что собственно нет. Этот пункт на локальную теорему Муавра-Лапласа.

Во втором объясните, что в знаменателях написано?

[integral2009]

Исправил! Только у меня ноль получается....

[PAV]

Уже понял, правильно написано, просто обозначения непонятные.

А в чем вопрос? Вы оценили вероятность того, что кандидат А, за которого голосуют с меньшей вероятностью, существенно опередит второго кандидата. Что удивительного в том, что это почти невозможное событие выходит?

[integral2009]

Спасибо) Сейчас сделаю для второго кандидата и пункт $1)$ как вы сказали по локальной теореме Лапласа!

-- Вт апр 13, 2010 22:42:02 --

Вероятность того, что кандидат $B$ наберет от $t_1=3450$ до $t_2=5000$ голосов

$p(\tilde t_1 \le t \le \tilde t_2) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\tilde t_1}^{\tilde t_2}e^{-\frac{x^2}{2}}$

$\tilde t_1=\dfrac{k-np_B}{\sqrt {n\cdot p_A\cdot p_B}}\approx \dfrac{450}{34,641}\approx 12,990$

$\tilde t_2=\dfrac{n-np_B}{\sqrt {n\cdot p_A\cdot p_B}} \approx \dfrac{2000}{34,641} \approx 54,629$

$\tilde p(\tilde t_1 \le t \le \tilde t_2) \approx 6.971\cdot 10^{-39} \approx 0$

Вероятность того, что один из избирателей опередит другого не мене, чем на $m=1900$ голосов

$p_m=\tilde p(\tilde t_1 \le t \le \tilde t_2)+\tilde p(t_1 \le t \le t_2)=0+0=0$

По локальной теореме Муавра Лапласа
сосчитаем вероятноть того, что кандидат $A$ опередит ровно $m=1900$ голосов

$p_n(k)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi n\cdot p_A \cdot p_B}}e^{-\dfrac{x_k^2}{2}}$



$x_m=41,871$

$p_n(k) \approx 1.631\cdot 10^{-381}$

-- Вт апр 13, 2010 23:12:14 --

Все по нулям получается))))

Возможно ли такое или я что-то не так сделал?)))