Изоморфизм гильбертова пространства и его сопряженного

[kkar]

Как доказать изоморфизм между гильбертовыми пространствами $X$ и $X^*$? И для случая $X=l^2$ указать явный вид изоморфизма.

В первом утверждении, я так понимаю, надо воспользоваться теоремой Рисса:
для любого непрерывного линейного функционала $f$ на $X$ существует единственный $x_0\in X: f(x)=(x,x_0)$. Верно ли, что эта формула и определяет изоморфизм?

Во второй задаче можно ли взять в качестве отображения сумму произведения соответствующих координат?

[id]

kkar
Изоморфизм будет, только он будет сопряженно линейный ( для случая комплексного ВП ).
Именно так, $I: H \to H^*, e \to f_e(\cdot) = <\cdot,e>$. Показывается, что $I$ - инъекция, сюрекция, ну и очевидно сопряженно-линейное отображение.

[ewert]

kkar в сообщении #309194 писал(а):

Во второй задаче можно ли взять в качестве отображения сумму произведения соответствующих координат?

Что значит "можно"? Нужно. Нужно просто скомбинировать теорему Рисса и явный вид скалярного произведения.

[kkar]

id в сообщении #309215 писал(а):

kkar
Изоморфизм будет, только он будет сопряженно линейный

А есть ли просто линейный, без сопряжения?

[paha]

ewert в сообщении #309300 писал(а):

Что значит "можно"? Нужно.

Не нужно. Изоморфизм между гильбертовым пространством и сопряженным не является каноническим. Это видно уже на примере конечномерных пространств. Поэтому именно можно.

[terminator-II]

paha в сообщении #315261 писал(а):

Изоморфизм между гильбертовым пространством и сопряженным не является каноническим. Это видно уже на примере конечномерных пространств.

Именно является каноническим. И это видно на примере конечномерных пространств: $(x^i)\mapsto (g_{ij}x^j)$ Инвариантная тензорная операия вектору ставит в соответствие ковектор. Опускание индекса с помощью метрического тензора называется.

[paha]

terminator-II в сообщении #315300 писал(а):

Именно является каноническим

оу)))

да