2 неравенства с украинских сборов

[OV08]

1) $a,b,c$ стороны треугольника, найти наименьшее $k$ , такое, что неравенство

$$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|< k$$

выполняется для всех $a,b,c$

2) В треугольнике $ABC$, со сторонами $a,b,c$, $H_{a}, H_{b}, H_{c}$ - основания высот $h_{a}, h_{b}, h_{c}$. Доказать :

$$\frac{h_{a}^{2}}{a^2-CH_{a}^2}+\frac{h_{b}^{2}}{b^2-AH_{b}^2}+\frac{h_{c}^{2}}{c^2-BH_{c}^2}\geq 3$$

[arqady]

OV08 в сообщении #308852 писал(а):

1) $a,b,c$ стороны треугольника, найти наименьшее $k$ , такое, что неравенство

$$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|< k$$

выполняется для всех $a,b,c$

Пусть $a=y+z,$ $b=x+z$ и $c=x+y,$ где $x\geq y\geq z$ и $x=ty.$
Тогда $\left|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\right|=\left|\frac{\sum(a-b)(c^2+ab+ac+bc)}{\prod(a+b)}\right|=\left|\frac{\sum(a-b)c^2}{\prod(a+b)}\right|=\left|\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{\prod(a+b)}\right|=$
$=\frac{(x-y)(x-z)(y-z)}{(2z+x+y)(z+2x+y)(z+x+2y)}\leq\frac{xy(x-y)}{(x+y)(2x+y)(x+2y)}=\frac{t(t-1)}{(t+1)(2t+1)(t+2)}.$
Пусть $f(t)=\frac{t(t-1)}{(t+1)(2t+1)(t+2)}.$ Тогда $f'(t)=\frac{-2(t^4-2t^3-7t^2-2t+1)}{(t+1)^2(2t+1)^2(t+2)^2},$
что даёт $t_{max}=\frac{1+\sqrt2+\sqrt5+\sqrt{10}}{2}$ и инфимум значений $k$
равен $f\left(\frac{1+\sqrt2+\sqrt5+\sqrt{10}}{2}\right)=0.044456...$ ,что наверняка можно записать как-то красиво.
Второе неравенство, очевидно, неверно.

[OV08]

arqady в сообщении #308878 писал(а):

Второе неравенство, очевидно, неверно.

Можно поподробнее?

Упс , надо добавить условие, что треугольник остроугольный,спасибо.

[arqady]

OV08 в сообщении #309027 писал(а):

надо добавить условие, что треугольник остроугольный

Тогда оно верно.
После подстановки $b^2+c^2-a^2=x,$ $a^2+c^2-b^2=y$ и $a^2+b^2-c^2=z$ и несложных преобразований получаем, что нужно доказать, что

$$\sum_{cyc}\frac{1}{x^2+2xy}\geq\frac{3}{xy+xz+yz},$$

что верно поскольку
$\sum\frac{1}{x^2+2xy}=\sum\frac{z^2}{x^2z^2+2z^2xy}\geq\frac{(x+y+z)^2}{\sum(x^2y^2+2x^2yz)}=\frac{(x+y+z)^2}{(xy+xz+yz)^2}\geq\frac{3}{xy+xz+yz}.$

[fadetoblack]

а что это за подстановка? точнее почему так можно сделать и почему именно так? ... просто по-моему это совсем не очевидно...

[arqady]

fadetoblack в сообщении #309129 писал(а):

а что это за подстановка? точнее почему так можно сделать и почему именно так? ... просто по-моему это совсем не очевидно...

Треугольник ведь теперь остроугольный. Поэтому $a^2+b^2-c^2>0,$ $a^2+c^2-b^2>0$ и $b^2+c^2-a^2>0.$
Например, $h_a^2=\frac{4S^2}{a^2}=\frac{2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4}{4a^2}=\frac{\sum\left(2(x+y)(x+z)-(x+y)^2)}{8(y+z)}=\frac{xy+xz+yz}{2(y+z)}.$

[kahey]

OV08 в сообщении #308852 писал(а):

1) $a,b,c$ стороны треугольника, найти наименьшее $k$ , такое, что неравенство

$$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|< k$$

выполняется для всех $a,b,c$

$$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}|=|3-\frac{2b}{a+b}-\frac{2c}{c+b}-\frac{2a}{a+c}|$$

Для определённости a<=b<=c

-- Ср апр 14, 2010 18:11:50 --

если a=b=c, то k=0
если b=c, то k=0

[kahey]

Пусть a - основание, его мы трогать не будем.
Зафиксируем с,a и будем варьировать b.
Найдём экстремум:
$b=\sqrt{ac}$
При b=a или b=c k=0,
При этом a<=b<=c
Значит надо найти значение k при $b=\sqrt{ac}$

-- Ср апр 14, 2010 19:07:41 --

Получим какое-то выражение от a и c.
Далее фиксируем a и варьируем c
Учтём, что c>=a.
При этом возможны случаи:
1)c=a
2)c=бесконечность
3)с=найденный экстремум, выраженный через a. В этом случае получаем выражение относительно a. Далее варьируем a, т.е. ищем экстремум.