2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кратные интегралы
Сообщение06.04.2010, 07:45 


26/12/09
104
Москва
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, доказать такой факт:
$\int\limits_0^tdt_1 \int\limits_0^{t_1}dt_2 ...\int\limits_0^{t_{m-1}}f(t_1) f(t_2) ...f(t_m) dt_m = \frac 1 {m!}\left( \int\limits_0^t f(\tau)d\tau\right)^m$

Я решила делать его по индукции. То есть предположим, что верно для m. И нужно доказать, что будет верно для m+1.

$\int\limits_0^tdt_1 \int\limits_0^{t_1}dt_2 ...\int\limits_0^{t_{m-1}} dt_m \int\limits_0^{t_m} f(t_1) f(t_2) ...f(t_m) f(t_{m+1})dt_{m+1} = \int\limits_0^tdt_1 \int\limits_0^{t_1}dt_2 ...\int\limits_0^{t_{m-1}}f(t_1) f(t_2) ...f(t_m) dt_m \int\limits_0^{t_m} f(t_{m+1})dt_{m+1}$

Подскажите, что дальше делать, чтобы прийти к результату. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кратные интегралы
Сообщение06.04.2010, 07:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Сначала внутренние $m$ интегралов свернуть по предположению индукции, чтобы получить однократный интеграл $\int_0^tf(t_1)\cdot\frac1{m!}F(t_1)^m\mathrm dt_1$, где $F(t):=\int_0^tf(\tau)\,\mathrm d\tau$. В нём занести $f(t_1)$ под дифференциал, и в общем, всё.

(Не читать)

Ещё можно делать так. Для определённости $t>0$. Для любой подстановки $\sigma\in S_m$ искомый интеграл равен $\int_{t>t_{\sigma(1)}>t_{\sigma(2)}>\ldots>t_{\sigma(m)}>0}f(t_1)\ldots f(t_m)\,\mathrm dt_1\ldots\mathrm dt_m$, и следовательно, равен их среднему арифметическому, т.е. $\frac1{m!}\int_{[0,t]^m}f(t_1)\ldots f(t_m)\,\mathrm dt_1\ldots\mathrm dt_m=\frac1{m!}F(t)^m$ (множество, на котором какие-то две координаты равны, имеет меру 0, поэтому им можно пренебречь).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кратные интегралы
Сообщение06.04.2010, 08:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Kafari в сообщении #306757 писал(а):
Подскажите, что дальше делать,

Во-первых, исправить самую первую строчку.

Во-вторых, обозначить в ней интеграл слева через $F_m(t)$ и интеграл справа -- через $G_m(t)$. Убедиться в том, что $$\begin{cases}F'_m(t)=f(t)\cdot F_{m-1}(t); \\ G'_m(t)=f(t)\cdot G_{m-1}(t).\end{cases}$. Что отсюда следует по индукции?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Кратные интегралы
Сообщение06.04.2010, 08:54 


26/12/09
104
Москва
ewert в сообщении #306762 писал(а):
Во-первых, исправить самую первую строчку.

Cпасибо, исправила))
То есть так:
$F_m(t) = \frac 1 {m!} \left(G_m(t)\right)^m$
$F'_m (t) = \frac 1 {m!} m \left(G_m(t)\right)^{m-1} * G'(t) = F_{m-1} * G'(t)$
Ecли $G' (t) = f(t)$, то действительно так получается... А почему так? Ведь $G(t) = \int\limits_0^t f(\tau)d\tau$ это определенный интеграл, ну хотя может быть и действительно так, я не знаю...
А по индукции следует, что
$F'_{m+1} (t) = f(t) F_m(t)$
$G'_{m+1} (t) = f(t) G_m(t)$
И дано, что $F_m = \frac 1 {m!} (G_m(t))^m$

То есть получаем, что $F_{m+1} = \int f(t) F_m(t)$... Вроде...

RIP в сообщении #306760 писал(а):
В нём занести под дифференциал, и в общем, всё.


Как-то так:
$\int\limits_0^t f(t_1) \frac 1 {m!} \left(\int\limits_0^{t_1}f(\tau)d\tau\right)^mdt_1 = \int\limits_0^t \frac 1 {m!} \left(\int\limits_0^{t_1}f(\tau)d\tau\right)^md\left(\int\limits_0^t f(t_1)\right)$

Или нет?

-- Вт апр 06, 2010 08:57:42 --

А по частям у меня что-то не получилось...

-- Вт апр 06, 2010 09:04:38 --

Да, и еще, в чем смысл называть интеграл справа $G_m(t)$, если там буквы m нет? Или я не то понимаю под G ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кратные интегралы
Сообщение06.04.2010, 09:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Kafari в сообщении #306772 писал(а):
То есть так:
$F_m(t) = \frac 1 {m!} \left(G_m(t)\right)^m$
$F'_m (t) = \frac 1 {m!} m \left(G_m(t)\right)^{m-1} * G'(t) = F_{m-1} * G'(t)$

Как-то совсем не так.

Под $F_m(t)$ понималась левая часть (не переписывать же её, она длинная; а производная от неё совсем очевидна).

А под $G_m(t)$ -- вся правая часть: $G_m(t)={1\over m!}\left(\int\limits_0^tf(s)\,ds\right)^m$. Её производная тоже очевидна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кратные интегралы
Сообщение06.04.2010, 20:24 


26/12/09
104
Москва
А, если так...
Но в таком случае производная от $F_m(t)$ мне не очевидна. Будет как-то так:
$F'(t) = \left(\int\limits_0^t f(t_1)dt_1 \int\limits_0^{t_1}dt_2\int\limits_0^{t_2}dt_3 ...\int\limits_0^{t_{m-1}}f(t_2) ...f(t_m)\right)' = f(t)*\int\limits_0^t dt_2 \int\limits_0^{t_2}dt_3 ...\int\limits_0^{t_{m-1}}f(t_2) ...f(t_m)dt_m$
Но что-то это не то совсем. Я не знаю, как ее дифференцировать, увы...

От $G_m(t)$ производная очевидна. А ведь они вроде равны должны быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кратные интегралы
Сообщение06.04.2010, 20:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Kafari в сообщении #307066 писал(а):
А, если так...
Но в таком случае производная от $F_m(t)$ мне не очевидна.

Да очевидна она, очевидна. Она будет равна той самой изначальной маленькой функции $f$, умноженной на аналогичную функцию предыдущего порядка. А как же иначе-то. Она ж получалась последовательным интегрированием своей прародительницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кратные интегралы
Сообщение06.04.2010, 20:57 


26/12/09
104
Москва
ewert в сообщении #307072 писал(а):
А как же иначе-то. Она ж получалась последовательным интегрированием своей прародительницы.

Да, но ведь по другой переменной... Я ведь дифференцирую по t, и не знаю, как там нужно поменять пределы и все остальное в этом кратном интеграле, чтобы он стал $F_{m-1}(t)$.
Разве
$\int\limits_0^t dt_2 \int\limits_0^{t_2}dt_3 ...\int\limits_0^{t_{m-1}}f(t_2) ...f(t_m)dt_m$ это то же самое, что
$\int\limits_0^t dt_1 \int\limits_0^{t_1}dt_2 ...\int\limits_0^{t_{m-2}}f(t_1) ...f(t_{m-1})dt_{m-1} = F_{m-1}(t)$
Вот этого я не пойму...

А дальше вроде так: если предположить, что
$F_{m+1}'(t) = f(t)* F_m(t)$ и
$G_{m+1}'(t) = f(t) *G_m(t)$, то, так как $F_m(t) = G_m(t)$, следовательно,
$F_{m+1}'(t) = G_{m+1}'(t)$. Но разве из этого следует, что $F_{m+1}(t) = G_{m+1}(t)$ ? Из равенства производных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кратные интегралы
Сообщение06.04.2010, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Kafari в сообщении #307090 писал(а):
Разве
$\int\limits_0^t dt_2 \int\limits_0^{t_2}dt_3 ...\int\limits_0^{t_{m-1}}f(t_2) ...f(t_m)dt_m$ это то же самое, что
$\int\limits_0^t dt_1 \int\limits_0^{t_1}dt_2 ...\int\limits_0^{t_{m-2}}f(t_1) ...f(t_{m-1})dt_{m-1} = F_{m-1}(t)$
Вот этого я не пойму...
Да просто переменные интегрирования переобозвали ($t_2,t_3,\ldots,t_m\longleftrightarrow t_1,t_2,\ldots,t_{m-1}$). Ну вот рассмотрите случай $m=2$. $\int_0^tf(t_1)\,\mathrm dt_1$ и $\int_0^tf(t_2)\,\mathrm dt_2$ --- это одно и то же?

Kafari в сообщении #307090 писал(а):
$F_{m+1}'(t) = G_{m+1}'(t)$. Но разве из этого следует, что $F_{m+1}(t) = G_{m+1}(t)$ ? Из равенства производных?
Ещё есть равенство $F_{m+1}(0)=G_{m+1}(0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кратные интегралы
Сообщение07.04.2010, 20:28 


26/12/09
104
Москва
Ясно. Спасибо большое!

 Профиль  
                  
 
 Re: Кратные интегралы
Сообщение07.04.2010, 20:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
RIP в сообщении #307153 писал(а):
$\int_0^tf(t_1)\,\mathrm dt_1$ и $\int_0^tf(t_2)\,\mathrm dt_2$ --- это одно и то же?

Хоть поезд уже и ушёл, но всё-таки -- тут пропущена частичка "разве не".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group