Найти дифференцируемую функцию

[daogiauvang]

1)Найти положительную дифференцируемую функцию $f(x)$ на $[0; \infty) $если известно, что при замене независимой переменной $\beta=\int\limits_{0}^{+x} f(t) dt $ она переходит в функцию $e^{-\beta}$.


2)Пусть интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f( x) dx $ сходится и равен $J$.Доказать, что интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f \left( x-\frac{1}{x} \right) dx $ также сходится и равен $J$.

[ИСН]

Со вторым там просто. Заменить x-1/x на t, выразить dx через него, оно пробегает по всей прямой два раза, причём...

[mihiv]

$f(x)=\frac 1{1+x}$.
Используем условие $f(x)=\exp (-\beta(x))$.

[daogiauvang]

Думаю, что $f(x)= \frac{1}{x+C}$

-- Пн апр 05, 2010 17:51:06 --

А 2-я задача мне трудно понимать, даже понял начальные условия.

[mihiv]

Дело в том,что по определению $\beta(0) =0$

[ewert]

daogiauvang в сообщении #306579 писал(а):

Думаю, что $f(x)= \frac{1}{x+C}$

mihiv в сообщении #306581 писал(а):

Дело в том,что по определению $\beta(0) =0$

Имелось в виду, что та $C$ находится из начального условия.

daogiauvang в сообщении #306579 писал(а):

А 2-я задача мне трудно понимать, даже понял начальные условия.

Дело в том, что $\int\limits_0^{+\infty}f\left(x-{1\over x}\right)dx=\Big[x=-{1\over t}\Big]=\int\limits_{-\infty}^0f\left(t-{1\over t}\right)\cdot{1\over t^2}\,dt$. И, аналогично, $\int\limits_{-\infty}^0f\left(x-{1\over x}\right)dx=\int\limits_0^{+\infty}f\left(t-{1\over t}\right)\cdot{1\over t^2}\,dt$. Поэтому $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f\left(x-{1\over x}\right)dx=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f\left(x-{1\over x}\right)\cdot{1\over x^2}\,dx$. Т.е. левый интеграл равен полусумме левого и правого. А $\left(1+{1\over x^2}\right)dx=d\left(x-{1\over x}\right)$.