Здравствуйте, помогите пожалуйста опознать итерационный метод для решения СЛАУ.
Несмотря на то, что метод простой, его описания в литературе я не нашел. Соответствующая глава в книгах как правило начинается с метода Якоби или Гаусса-Зейделя, которые используют сумму матриц L и U. В рассматриваемом методе эти матрицы не нужны, зато нужна новая переменная
, которая при увеличении номера итерации стремится к нулю. Пусть имеется некоторая система уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:
![\[
\begin{gathered}
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{a_{11}} & {a_{12}} & \dots & {a_{1n}} \\
{a_{21}} & {a_{22}} & \dots & {a_{2n} } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{a_{n1}} & {a_{n2}} & \dots & {a_{nn}} \\
\end{array} } \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{x_1}\\
{x_2}\\
\vdots\\
{x_n}\\
\end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{b_1}\\
{b_2}\\
\vdots\\
{b_n}\\
\end{array} } \right] \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/1/5a1a9c812294fcbc987c476bb095c50182.png "\[
\begin{gathered}
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{a_{11}} & {a_{12}} & \dots & {a_{1n}} \\
{a_{21}} & {a_{22}} & \dots & {a_{2n} } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{a_{n1}} & {a_{n2}} & \dots & {a_{nn}} \\
\end{array} } \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{x_1}\\
{x_2}\\
\vdots\\
{x_n}\\
\end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{b_1}\\
{b_2}\\
\vdots\\
{b_n}\\
\end{array} } \right] \\
\end{gathered}
\]")
Выберем какую-либо строку
,
и составим для нее матрицу следующего вида:
![\[
\begin{gathered}
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 & \dots & 0 & {a_{j1}s_1} \\
0 & 1 & 0 & \dots & 0 & {a_{j2}s_2} \\
0 & 0 & 1 & \dots & 0 & {a_{j3}s_3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & 1 & a_{jn}{s_n} \\
{a_{j1}} & {a_{j2}} & {a_{j3}} & \dots & {a_{jn}} & 0 \\
\end{array} } \right] \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/7/e97a4d3f83d78b76d36af337b4ac628c82.png "\[
\begin{gathered}
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 & \dots & 0 & {a_{j1}s_1} \\
0 & 1 & 0 & \dots & 0 & {a_{j2}s_2} \\
0 & 0 & 1 & \dots & 0 & {a_{j3}s_3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & 1 & a_{jn}{s_n} \\
{a_{j1}} & {a_{j2}} & {a_{j3}} & \dots & {a_{jn}} & 0 \\
\end{array} } \right] \\
\end{gathered}
\]")
где
- произвольные константы. Для итерации
можно записать:
![\[
\begin{gathered}
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 & \dots & 0 & {a_{(j+i)1}s_1} \\
0 & 1 & 0 & \dots & 0 & {a_{(j+i)2}s_2} \\
0 & 0 & 1 & \dots & 0 & {a_{(j+i)3}s_3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & 1 & a_{(j+i)n}{s_n} \\
{a_{(j+i)1}} & {a_{(j+i)2}} & {a_{(j+i)3}} & \dots & {a_{(j+i)n}} & 0 \\
\end{array} } \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{x_1^{i + 1} } \\
{x_2^{i + 1} } \\
{x_3^{i + 1} } \\
\vdots \\
{x_n^{i + 1} } \\
{y^{i + 1} } \\
\end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{x_1^i } \\
{x_2^i } \\
{x_3^i } \\
\vdots \\
{x_n^i } \\
{b_{j+i} } \\
\end{array} } \right] \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/f/11fe980c605e270d6b131c53918c7a0182.png "\[
\begin{gathered}
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 & \dots & 0 & {a_{(j+i)1}s_1} \\
0 & 1 & 0 & \dots & 0 & {a_{(j+i)2}s_2} \\
0 & 0 & 1 & \dots & 0 & {a_{(j+i)3}s_3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & 1 & a_{(j+i)n}{s_n} \\
{a_{(j+i)1}} & {a_{(j+i)2}} & {a_{(j+i)3}} & \dots & {a_{(j+i)n}} & 0 \\
\end{array} } \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{x_1^{i + 1} } \\
{x_2^{i + 1} } \\
{x_3^{i + 1} } \\
\vdots \\
{x_n^{i + 1} } \\
{y^{i + 1} } \\
\end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{x_1^i } \\
{x_2^i } \\
{x_3^i } \\
\vdots \\
{x_n^i } \\
{b_{j+i} } \\
\end{array} } \right] \\
\end{gathered}
\]")
где
- соответствующий свободный член из правой части исходной системы.
Решая эту систему одним из точных методов, найдем значения
и подставим их как
в следующую итерацию. Очевидно, что индекс
может превысить
, поэтому
if 
then 
Таким образом, каждое уравнение из исходной системы используется для составления новой системы, которая на каждой итерации решается точным методом. Поскольку название метода мне не известно, доказательство его сходимости я также не нашел.
, являются ли они также неизвестными? Может, "произвольные константы" означает, что 2-я система должна иметь одно и то же решение для любого набора 
где 
--- некоторые матрицы, возможно, "похожие на 
", но обращение которых легче, чем обращение 
--- параметры (скаляры), уменьшение которых, вероятно, позволяет достичь сходимости, однако эту же самую сходимость замедляющее. Получится ли Ваш метод так записать? Если да, то здесь достаточное условие сходимости таково: 
должны быть по какой-нибудь матричной норме не больше фиксированного числа 
.
такая же неизвестная как и любой из 
, однако в отличие от них она не подставляется в следующую итерацию.