Доказать неравенство

[hlynd]

Пожалуйста посоветуйте как доказать следущее неравенство:
$(\sqrt[n]{n}-1)^{n} < (\frac{1}{2})^{n}$ для любого натурального числа $n$.

Я пытался доказать с помощью индукции но запутался.

[Полосин]

Вы ничего не перепутали? У вас обе части неравенства возведены в одинаковую степень.

[hlynd]

Нет.
Я пытаюсь доказать предел:

$\lim_{\limits {n\to +\infty}} \ (\sqrt[n]{n}-1)^{n} = 0 $

но ведь

$(\sqrt[n]{n}-1)^{n} < (\frac{1}{2})^{n} \le (\frac{1}{2}) $

для любого натурального числа $n$.

[Alexey1]

Ну Вам подсказали, обратите внимание на то что обе части неравентсва возведены в одинаковую степень. Теперь возведите обе части неравенства в степень $\frac{1}{n}$, а там уже всё просто.

[paha]

просто подумайте чему эквивалентно $\sqrt[n]{n}=e^{\frac{\ln n}{n}}$

[Sasha2]

Для $\sqrt[n]{n}$ известна хорошая оценка, а именно $\sqrt[n]{n} \le 1+\frac{2}{\sqrt{n}}$