Поверхностные интегралы второго рода

[Nogin Anton]

Можно ли сказать, что поверхностный интеграл второго рода вычисляется по следующим формулам:
$\iint_S\vec{f}d\vec{S}=\iint_S(P\cos{\alpha}+Q\cos{\beta}+R\cos{\gamma})dS=\iint_SPdydz+Qdxdz+Rdxdy$?

[ewert]

Nogin Anton в сообщении #305898 писал(а):

Можно ли сказать, что поверхностный интеграл второго рода вычисляется по следующим формулам:
$\iint_S\vec{f}d\vec{S}=\iint_S(P\cos{\alpha}+Q\cos{\beta}+R\cos{\gamma})dS=\iint_SPdydz+Qdxdz+Rdxdy$?

Можно,но с очень существенной оговоркой: $\iint_S\vec{f}d\vec{S}=\pm\iint_SPdydz\pm\iint_SQdxdz\pm\iint_SRdxdy$. И каждый знак выбирается в соответствии с направлением вектора нормали относительно соответствующей координатной оси.

[Nogin Anton]

ewert, большое спасибо!

[paha]

разве знаки косинусов не сидят в формуле
$\iint_S\vec{f}d\vec{S}=\iint_S(P\cos{\alpha}+Q\cos{\beta}+R\cos{\gamma})dS=\iint_SPdydz+Qdxdz+Rdxdy$?

[Nogin Anton]

Я как понимаю, можно и так и так писать?

[Padawan]

В первой и третьей записях поверхность $S$ должна быть снабжена ориентацией, так что её можно явно указать, например, как $S^{+}$ или $S^{-}$.
Во второй записи эту информацию берут на себя косинусы (в самом интеграле первого рода никакая ориентация не нужна), о чем сказал paha

И еще, лучше писать $\dots + Qdzdx + \dots$

[Nogin Anton]

Ок. Спасибо!

[ewert]

paha в сообщении #305934 писал(а):

разве знаки косинусов не сидят в формуле
$\iint_S\vec{f}d\vec{S}=\iint_S(P\cos{\alpha}+Q\cos{\beta}+R\cos{\gamma})dS=\iint_SPdydz+Qdxdz+Rdxdy$?

В последней -- увы. Нету в ней никаких признаков учёта ориентации. Там просто сумма двойных интегралов, понятия "ориентация" не знающих. Как ни переставляй ихние дифференциальчики.

Да, и ещё:

ewert в сообщении #305913 писал(а):

$\pm\iint_SPdydz\pm\iint_SQdxdz\pm\iint_SRdxdy$.

-- это, конечно, я несколько погорячился. Надо, конечно,

$\pm\iint_{D_{yz}}Pdydz\pm\iint_{D_{xz}}Qdxdz\pm\iint_{D_{xy}}Rdxdy$

(имея в виду, конечно, проекции той поверхности на соотв. плоскости).