Задача по мат.ану. ПомогитЕее...

[Svoboda]

Нужно показать, что если $A\subset E$ и $\mu E$$\le$$\+ infinity$(не бесконенчость, мера конечная), то $A\in M$ тогда и только тогда, когда $\exists B_1, B_2$$\in M(S): B_1\subset A\subset B_2, \mu(B_1)=\mu(A)=\mu(B_2)$.
В качестве $\ B_1,B_2$ можно, наверное, взять борелевские множества на прямой... Не знаю, как с помощью них доказать мою задачу.

[MMyaf]

Пусть

$$A\subset M$$

произвольная фигура

$$R ^2$$

. Тогда всегда можно найти еще две фигуры

$$B_1 \subset B_2 \subset M$$

, такие что

$$B_1\subset A \subset B_2$$

(за

$$B_1$$

всегда можно взять пустое множество, за $$B_2 -

$$M$$

).

$$\mu(A)$$

будем называть площадь фигуры A. Множество всех внутренних точек называется внутренностью фигуры A и обозначим это множество

$$A^ 0$$

. Прямым дополнением множества A обозначим за СA. Точка x называется граничной, если она не лежит ни в A^ 0, ни в СA. Множество всех таких точек х назовем границей фигуры А. Пусть

$$\mu_*(A) = sup_B_1 \mu(B_1) , \mu^ *(A) = inf_B_2 \mu(B_2)$$

.Где точные границы берем по всевозможным фигурам

$$B_1$$

,

$$B_2$$

, удовлетворяющим условиям

$$B_1\subset A \subset B_2 \subset M$$

.

$$\mu_*(A) = \mu(A) =\mu^ *(A)$$

Необходимость доказана.