Найти сумму ряда

[volochaeva]

Помогите пожалуйста дорешать следующую задачку:
Найти сумму ряда в точке $x_0=2$, используя теоремы о дифференцировании и интегрировании рядов:
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n(n+1)x^n}{5^n}}$
Я решала вот так:
$\int\limits_{0}^{x}{S(x)dx}=\int\limits_{0}^{x}\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n(n+1)x^n}{5^n}dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^nx^{n+1}}{5^n}}=x-\frac{x^2}{5}+\frac{x^3}{25}-...$
Дальше я вижу, что это геометрическая прогрессия, поэтому пробовала решать по формуле для суммы убывающей геометрической прогрессии, но преподаватель это зачеркнул.

[paha]

просто Вы забыли обосновать

Напишите, что в данном случае интеграл суммы равен сумме интегралов по такой-то теореме, не забудьте проверить условие теоремы

и потом продифференцировать... и тоже обосновать

[Alexey1]

Найдите неопределённый интеграл от Вашего ряда, получается $C+\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{5^n}=C+\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \Big( \frac{x}{5}\Big)^nx$. И здесь уже можно увидеть известный ряд, а именно $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^n$. В Вашем случае $\frac{x}{1-(-\frac{x}{5})}=x\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \Big(\frac{x}{5}\Big)^n$. Теперь дифференцируйте $\frac{x}{1-(-\frac{x}{5})}$ по $x$ и вычисляйте сумму исходного ряда, так как $x=2$ входит в интервал сходимости ряда.

[paha]

Alexey1
такого ряда нет

и неопределенного интеграла тоже нет

-- Сб апр 03, 2010 13:31:39 --

уж сколько раз твердили миру.... (И.А.Крылов)

-- Сб апр 03, 2010 13:33:32 --

volochaeva
не забудьте обосновать)

[Sasha2]

Наверно проще без всяких интегрировний и диффернцирований, найти сумму ряда просто посчитав вот вот такое выражение $xS_n-S_n$, где $S_n$ n-я частичная сумма этого ряда.

[Alexey1]

paha в сообщении #305940 писал(а):

такого ряда нет
и неопределенного интеграла тоже нет

Это какого ряда с неопределённым интегралом нет?

[AD]

Alexey1 в сообщении #306019 писал(а):

Это какого ряда с неопределённым интегралом нет?

Ряда с отсутствующим верхним пределом и интеграла от него. Угадал?

[Alexey1]

AD в сообщении #306030 писал(а):

Alexey1 в сообщении #306019 писал(а):

Это какого ряда с неопределённым интегралом нет?

Ряда с отсутствующим верхним пределом и интеграла от него. Угадал?

Верхний предел там ясно указан. Вы о какой формуле говорите?

[AD]

volochaeva в сообщении #305809 писал(а):

$\sum\limits_{n=0}^{беск}{\frac{(-1)^n(n+1)x^n}{5^n}}$

Офигенно ясно указан! Я в восторге.

volochaeva, бесконечность пишется \infty.
Исправил Ваше сообщение.

[Alexey1]

Ну так это же не я написал. Автор темы, просто указала что это ряд, значит верхний предел это бесконечность. Ну и в интеграле у неё там ошибка. Но всё равно же понятно, что она имела ввиду.

[AD]

Ладно, тогда сдаюсь. Не знаю, какого ряда нет

[paha]

(Оффтоп)

paha в сообщении #305940 писал(а):

Alexey1
такого ряда нет

и неопределенного интеграла тоже нет

Извините, Alexey1. Данный пост я писал под впечатлением от

ИСН в сообщении #305630 писал(а):

Вы - бабочка, которой всё это снится

но теперь проснулся и не помню что я имел ввиду... наверное только то, что понятие "неопределенный интеграл" дано нам в ощущение высшими силами по причине слабости нашей...лености разума подстать