Уравнение Лапласа ( Задача Неймона)

[Sintanial]

Всем привет. Помогите пожалуйста с мат физикой =)
Вот дана такая область

Мне необходимо решить уравнение лапласа $\Delta C=0$ (в цилиндрических координатах- они на рисунке показаны). Вот с такими условиями
1) На AE, BD:C=$C_0$=1
2) На AB,CD,EC : $\frac{\partial C}{\partial n}=0$ Где n - внешняя нормаль

Помогите с решением. На матфизике такое еще не проходили(это для курсовой). Поискал в интернете, и нашел только то что это наверно задача Неймона но ни слова не нашел о том как её решать . Смущает второе условие ( с нормалью которое) - как его использовать, где и когда ? =)

[ewert]

Это не полярные координаты. Ищите про метод конечных элементов.

Общая идея. Пишется "энергетический функционал", т.е. интеграл от квадрата модуля градиента по каждому треугольнику. Функция на этом треугольнике аппроксимируется линейной, поэтому этот интеграл будет просто квадратичной функцией от значений в вершинах (коэффициенты определяются по сторонам треугольника). Затем всё суммируется по всем треугольникам -- и минимизируется.

Граничные условия Дирихле задаются напрямую, т.е. соответствующие узловые значения на границе будут не переменными, а фиксированными. А на тех участках границы, где накладывается условие Неймана -- просто никаких условий на граничные узловые значения не ставится (при варьировании функционала это в точности превратится в условие Неймана).

Минимизировать можно или приближённо (итерационным способом) -- или явно выписать систему уравнений:
$(A\vec u,\vec u)+(\vec b,\vec u)=\mathrm{min}\quad\Leftrightarrow\quad 2\,A\vec u+\vec b=\vec0$.

[worm2]

Какая-то странная задача. Решение тривиальное получается: $C\equiv C_0$.
Надо хотя бы на AE и BD задать разные константы, чтобы что-то повеселее получилось.

[Sintanial]

worm2 А расскажите пожалуйста как решать данные уравнения ?
Мне сказали решить его вручную или методом конечных элементов на FlexPDE( но я это не знаю как делать =)

ewert спасибо большое за ответ, но увы я не изучал метод конечных элементов - для меня это тёмный лес. Увы я даже не изучал задачу Неймона и не знаю что с ней делать =)

[worm2]

Sintanial писал(а):

worm2 А расскажите пожалуйста как решать данные уравнения ?

Ой, это такая обширная тема... Вы льстите моим знаниям :) Вот ewert отличный метод набросал. Самый лучший, можно даже сказать (в каком-то смысле). Можно попробовать другие численные методы, можно даже попробовать аналитически (т.е. точно), но это уже для тех, кто знает толк в извращениях, а также численно-аналитически. Хотя у Вас уже задана сетка, что кагбе намекает на МКЭ, тем более, что

Цитата:

Мне сказали решить его вручную или методом конечных элементов на FlexPDE( но я это не знаю как делать =)

FlexPDE не знаю, совета по ней дать не могу. По поводу "вручную", видимо, Вам предлагают написать программу для решения самостоятельно. Это отличный способ освоиться в теме, опыт гарантирован. А опыт здесь важен, и вот почему.

Вы, видимо, новичок в уравнениях в частных производных. Вынужден Вас огорчить, эта дисциплина довольно обширна (однако, повторяюсь ) и не больно-то поддаётся штурмам и гениальным озарениям :( Я знаю только один метод её освоения: постепенно набираться опыта, решая подобные задачи, потихоньку посматривая литературу (часто учебники называются "Уравнения математический физики"), не перенапрягаясь (про штурмы уже написал). Ну и с руководителем консультируясь, конечно.

-- Пт апр 02, 2010 23:06:10 --

P.S. то, что я сразу выписал решение --- это следствие опыта, увидел знакомый шаблон и сразу в глаза бросилось, что что-то здесь слишком просто. Если на AE и BD будут разные константы, то я, наверное, и за неделю точного решения не найду

[Sintanial]

У нас идет курсы УМФ. Мы просто не дошли еще до Задачи Неймона и поэтому я не пойму что это за граничные условия такие что производная частная по нормали равнялась 0. Как её записать в программе =)

А сетка эта как раз из программы FlexPDE. Правда я нарисовал только область( первое задание было моё), а теперь второе задание решить на границах данное уравнение- вот с этими уравнениями у меня затруднения =)

[ewert]

Sintanial в сообщении #305669 писал(а):

Мы просто не дошли еще до Задачи Неймона

Это не задача Неймона (и даже не Неймана). Это -- задача с различными типами граничных условий на разных участках границы: где-то -- неоднородные условия Дирихле (т.е. на значения самой функции), а где-то -- однородные условия Неймана (т.е. на её нормальную производную).

Качественно свойства задачи не зависят от распределения этих граничных условий. А численно -- если в рамках МКЭ, то надо примерно так, как я и писал. А при прямоугольно-сеточной, например, аппроксимации -- можно и из других соображений исходить.

В любом случае я совершенно не понимаю, как можно давать вычислительную задачу людям, которые никакой теории о предмете задачи и в жисть-то не слыхали. Это иррационально.

(Оффтоп)

worm2 в сообщении #305663 писал(а):

Если на AE и BD будут разные константы, то я, наверное, и за неделю точного решения не найду

И даже за всё время существования вселенной -- вряд ли найдёте. И даже -- за всё вообще время ваще...

[Sintanial]

Мне дал мой научный руководитель. Сказал что тут всё просто. Напиши на FlexPDE вот тебе уравнение.
А я вот теперь сижу и голову ломаю. Щас читаю книгу по вариационным методам в мат физике, но честно сказать очень туго идет. Вот не знаю, что делать. С пустыми руками страшно идти =), не любит он когда халяву ловят =)

[worm2]

Sintanial писал(а):

...что это за граничные условия такие что производная частная по нормали равнялась 0...

Клянусь, самые что ни на есть обычные граничные условия II рода
С физической точки зрения это означает, что граница теплоизолирована (частная производная по нормали в какой-то точке --- это, опуская ненужные подробности, поток тепла через границу в этой точке). Одеяло там на границе, которое не даёт теплу ни уйти наружу, ни прийти снаружи :)

[ewert]

Sintanial в сообщении #305678 писал(а):

не любит он когда халяву ловят =)

сам он халяву ловит =). Не можешь поставить задачу -- не берись. И если не в курсе содержания смежных курсов -- аналогично.

[worm2]

(Оффтоп)

ewert писал(а):

В любом случае я совершенно не понимаю, как можно давать вычислительную задачу людям, которые никакой теории о предмете задачи и в жисть-то не слыхали. Это иррационально.

Видимо, это метод такой --- дать курсовику что-нибудь эдакое, типа как кинуть щенка в воду, а там, глядишь, сам плавать научится. Честное слово, со мной примерно так же было: мне руководитель дал на 3-м курсе уравнение Лапласа и сказал, что его надо решить методом конечных элементов, когда курс УМФ ещё не начался. Но зато курс ОДУ у нас прошёл, и что такое частная производная я тем более знал. Так что формально мне всё понятно должно было быть . Хотя вру, задание было даже немножко круче: не решить уравнение, а построить оптимальную треугольную сетку для решения его МКЭ

[ewert]

(Оффтоп)

worm2 в сообщении #305690 писал(а):

, а построить оптимальную треугольную сетку для решения его МКЭ

ни хрена себе, а я так и не знаю, как это сделать. Т.е. когда-то сочинил алгоритм, который даёт сетку с более-менее не шибко отличающимися от одинаковых во всех углах всех треугольников. Но это была кустарщина, и я вовсе не уверен, что эта задача имеет какое-либо каноническое решение.

[worm2]

(Оффтоп)

ewert писал(а):

worm2 в сообщении #305690 писал(а):

, а построить оптимальную треугольную сетку для решения его МКЭ

ни хрена себе, а я так и не знаю, как это сделать. Т.е. когда-то сочинил алгоритм, который даёт сетку с более-менее не шибко отличающимися от одинаковых во всех углах всех треугольников. Но это была кустарщина, и я вовсе не уверен, что эта задача имеет какое-либо каноническое решение.

Однако, имеет, причём весьма красивое --- триангуляция Делоне. Я, правда, о ней узнал намнооого позже (ту задачу я и близко не решил, получил другую :) ).

[ewert]

(Оффтоп)

не знаю, во всяком случае, картинка из Вики не впечатляет. Какая уж там максимизация углов. И в каком смысле максимизация.

[worm2]

(Оффтоп)

ewert писал(а):

не знаю, во всяком случае, картинка из Вики не впечатляет. Какая уж там максимизация углов. И в каком смысле максимизация.

Ну да, опять я наврал Делоне --- это не алгоритм, а всего лишь необходимое условие оптимальной триангуляции. В Википедии вообще рассматривается задача разбиения на треугольники, когда все их вершины уже заданы (и надо только их правильно соединить). А для генерации сеток классических методов таки нету. Знаю только, что есть один крутой чувак, который, типа, лучше всех в этом вопросе разбирается.