Похоже и правда лучше не лезть

Да тут нет ничего сложного.
Характеристическая функция подмножества множества натуральных чисел -- это просто функция, сопоставляющая каждому натуральному числу значение 1, если это число принадлежит данному множеству, и 0 в противном случае.
Например, характеристическая функция множества

будет такой:




Ну а характеристическая функция множества четных натуральных чисел такая:


Т.о., каждому подмножеству множества натуральных чисел

соответствует последовательность 0 и 1, причем для разных подмножеств эти последовательности будут разными. Поэтому если все подмножества множества

можно пронумеровать, то можно пронумеровать и последовательности 0 и 1 и наоборот.
Ну а дальше вступает в действие та самая диагональная процедура:
Предположим, нам удалось пронумеровать все последовательности 0 и 1.
Для примера пусть начало этого списка выглядит так:




Построим новую последовательность 0 и 1 таким образом, что ее
1-й элемент отличается от
![$n_1[1]$ $n_1[1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/6/246597b08c380090323efadcd60c4f2a82.png)
2-й элемент отличается от
![$n_2[2]$ $n_2[2]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/c/38c3ee50f2458cfc00b1e61980b82b4d82.png)
3-й элемент отличается от
![$n_3[3]$ $n_3[3]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/a/51a1d143eab93ca7462843f70014689f82.png)
и т.п.
(т.е., в нашем случае новая последовательность начинается так

)
По построению очевидно, что в нашей нумерации эта новая последовательность отсутствует, т.к. от каждой последовательности, входящей в нумерацию, она в какой-то позиции да отличается.
Т.о., мы пришли к противоречию с нашим предположением, что существует нумерация всех последовательностей 0 и 1, а значит такой нумерации не существует.
А следовательно, не существует и нумерации всех подмножества множества

.