Многочлен Гильберта (помогите решить)

[Анти]

Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу.

Идеал I в кольце K[x,y,z]задан образующими xy, x^3, y^3, y^2z. Найти многочлен Гильберта.

[maxal]

А порядок на мономах какой?
Например, для общей степени и затем лексикографического порядка Maple дает такое:

> Groebner[HilbertPolynomial]([x*y,x^3,y^3,y^2*z],tdeg(x,y,z),n);
                               4

[lofar]

Выбор порядка на мономах значения не имеет. Дело в том, что идеал $I$ мономиальный и его базис Гребнера один и то же при всех упорядочениях. Как указал maxal, полином Гильберта равен $4$. В этом нетрудно убедиться, вычислив в явном виде функцию Гильберта.

[Анти]

lofar, подскажите, пожалуйста, как это лучше сделать.

Я использовал алгоритм, изложенный в книге Е.В. Панкратьева "Компьютерная алгебра".

В итоге у меня получился такой многочлен Гильберта:

\omega(t) = C^{t+3}_3 - C^{t+1}_3 + 3C^{t-1}_3 - 3C^{t}_3
(запись, наверное, западная, у нас "t" внизу писались бы)

Думаю, это не то же самое, что у Вас.
Значит, я где-то напортачил.

Жду помощи!

[lofar]

Я не использовал общего алгоритма. Приведенный пример достаточно прост, можно применить грубую силу и выписать базис для каждой однородной компоненты факторалгбры:
$0\colon 1$
$1\colon x,y,z$
$2\colon x^2, y^2, z^2, yz, xz$
$3\colon x^2z, xz^2,yz^2,z^3$
$4\colon x^2z^2, xz^3,yz^3,z^4$
и.т.д
Видно, что функция Гильберта $H(n)$ постоянна и равна $4$ при $n\geqslant 3$. Значит многочлен Гильберта равен $4$.

[Анти]

Спасибо!
Но понятно не всё.
Что и по чему нужно факторизовать для каждого n (не чувствую я этого)?
Можно на парочке примеров показать, как получились такие результаты (например, n=1, 4).
Почему ответ = 4 для n>2? А для <3 он какой?

[lofar]

Пусть $I$ --- однородный идеал в $k[X]=k[x_1,\ldots,x_k]$. Алгебра $k[X]$ градуированная:

$$ k[X] = A_0\oplus A_1\oplus A_2\oplus\ldots $$

Здесь $A_d$ --- векторное подпространство в $k[X]$ натянутое на мономы степени $d$. Например, $A_2$ есть линейная оболчка $\{x_ix_j|1\leqslant i\leqslant j\leqslant k\}$.

Рассмотрим канонический эпиморфизм $\nu\colon k[X]\to k[X]/I$. Так как $I$ однородный, факторалгебра $k[X]/I$ наделяется естественной градуировкой:

$$ k[X]/I = \nu(A_0)\oplus \nu(A_1)\oplus \nu(A_2)\oplus\ldots $$

Полезно самому проверить это равенство, убедиться в том, что эта сумма прямая, и что выполнено условие градуированности.

Функция Гильберта $H$ факторалгебры $k[X]/I$ определяется так: $H(d)=dim_k \vu(A_d)$ --- размерность $d$-й однородной компоненты. Имеем $\nu(A_d)=(A_d+I)/I\cong A_d/(A_d\cap I)$, поэтому $H(d)=dim_k [A_d/(A_d\cap I)]$. Многочленом Гильберта называется такой полином $G(x)\in\mathbb Q[x]$, что $H(d)=G(d)$ для всех достаточно больших $d$. В данном случае такой полином обязательно существует и единственен.

Теперь вернемся к вашему примеру и вычислим, скажем, $H(2)$. $A_2=span\{x^2,y^2,z^2,xy,xz,yz\}$. $A_d\cap I=span\{xy\}$ (именно в этом месте употреблена грубая сила). Значит $A_2/(A_2\cap I)$ имеет базис $\{x^2,y^2,z^2,xz,yz\}$ и следовательно $H(2)=5$. Рассуждая таким образом, получаем $H(0)=1$, $H(1)=3$, $H(2)=5$, и $H(3)=H(4)=\ldots=4$. Видно, что полином Гильберта $G(d)$ равен $4$ (он имеет нулевую степень).