Избавиться от иррациональности в знаменателе

[batsa]

Подскажите, пожалуйста, как избавиться от иррациональности в знаменателе такой дроби:
1/(\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}).

Наверное, как-то похоже решается и такая задача:
найти многочлен с целыми коэффициентами минимальной степени, корнем которого является 1/(\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}).

Жду помощи!
Спасибо.

[Sasha2]

Ну а что, разве нельзя выражение в знаменателе представить как сумму корней шестой степени?

[Руст]

$1/(\sqrt{2} + \sqrt[3]{3})=\frac{2-2^{1/2}3^{1/3}+3^{2/3}}{2^{3/2}+3}=(3-2\sqrt 2 )(2-2^{1/2}3^{1/3}+3^{2/3})$.
Вначале лучше найти многочлен для числа \sqrt{2} + \sqrt[3]{3} а потом поменяв коэффициенты перед старшим членом с коэффициентом перед нулевым и т.д. найдётся требуемый многочлен.

[batsa]

Как я понимаю, чтобы получить многочлен, нужно возводить \alpha = \sqrt{2} + \sqrt[3]{3} в некоторую степень, потом как-то преобразовывать выражение и снова возводить. В итоге, когда иррациональность исчезнет, получится некий многочлен, среди делителей которого и следует искать минимальный многочлен.
С более простыми случаями разобралась. Но с этим - что-то никак
Всё время лезет иррациональность.
В какие степени нужно возводить?
Помогите, пожалуйста!

[batsa]

Можно ли поступать так?

$$ (x-\sqrt{2})^3 = 3 $$

$$ x^3 + 6x - 3 = \sqrt{2}(2 + 3x^2) $$

$$ (x^3 + 6x - 3)^2 = 2(2 + 3x^2)^2 $$

$$ x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1 = 0 $$

Нужно ли проверять его на минимальность или само построение заведомо выдаёт минимальный многочлен?

[MMyaf]

И вот так можно:

$$ x = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}}$$

$$ x(\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}) = 1$$

$$ x\sqrt{2} + x\sqrt[3]{3} = 1$$

$$ x\sqrt[3]{3} = 1 - x\sqrt{2}

$$ 3x^ 3 = (1 - x\sqrt{2})^3$$

$$ (3x^3 - 6x - 1) = \sqrt{2} (-3x - 2x^ 3)$$

далее возводим в квадрат обе части выражения.
Получаем:

$$x^ 6 - 36x^ 5 +12x^4 - 6x^3 -6x^ 2 +1 = 0$$

[Руст]

batsa писал(а):

Можно ли поступать так?

$$ x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1 = 0 $$

Нужно ли проверять его на минимальность или само построение заведомо выдаёт минимальный многочлен?

Отсюда уравнение для обратного легко записывается переставлением коэффициентов:
$x^6-36x^5+12x^4-6x^3-6x^2+1=0$
Неприводимость этого многочлена следует из того, что корнем этого многочлена являются и все сопряжённые, получающиеся присвоением других значений корней квадратных и кубических.

[batsa]

Спасибо за помощь!
Можно более подробно расшифровать вот эту фразу?

Руст писал(а):

Неприводимость этого многочлена следует из того, что корнем этого многочлена являются и все сопряжённые, получающиеся присвоением других значений корней квадратных и кубических.

[ИСН]

А что тут расшифровывать: у нас два разных значения \sqrt{2} и три разных значения \sqrt[3]{3}, ergo, у нас шесть разных значений \sqrt{2}+\sqrt[3]{3}, и все они - корни этого многочлена, то есть меньше шестой степени - никак.