Задача о множестве значений функции

[Ania]

Пусть функция задана на отрезке [0,1] имеет в каждой точке этого отрезка локальный минимум.Доказать,что множество значений функции не более,чем счетно.
Это,может,смешно,но никак не могу решить.Понимаю,что функция такая скорее всего отрезок или прямая и,действительно,множество ее значений либо счетно,либо конечно...(счетно,если,например,отрезки все время уменьшать).Была идея спроецировать все на ось ординат и каждый локальный минимум окружить окрестностью,причем такой,чтоб она с соседней не пересекалась,а потом объединить окрестности длины от одного до другого определенного значения.Видела на сайте решение для строгих локальных максимумов,но у меня локальный минимум не строгий,это во-первых,а во-вторых,кажется,там перешли от понятия локального максимума к понятию точки локального максимума,а это ведь разные вещи.Или я что-то путаю...=(Вобщем,нужна хоть какая-то идея....
Буду благодарна за любые советы,идеи,примеры и т.д.

[maxmatem]

Очан -"задачи по математическому анализу", раздел мощности множеств

[ewert]

Ania в сообщении #304228 писал(а):

Пусть функция задана на отрезке [0,1] имеет в каждой точке этого отрезка локальный минимум.Доказать,что множество значений функции не более,чем счетно.

Потому, что множество локальных минимумумов вообще не более чем счётно. Тем более не более чем счётно множество значений функции в этих самых точках локальных минимумов. См, например, здесь (ну или там по окрестностям).

(да, и кстати -- соотв, и условия задачи противоречивы. Ну не может она иметь в каждой точке локальный минимум, ну никак не сможет, увы)

[Ania]

Спасибо большое,сейчас попытаюсь разобраться...А условие...Оно такое в типовом расчете...Нашла,из какого задачника-увы,такое же.=(

-- Вт мар 30, 2010 00:26:18 --

А разве константа не является функцией,у которой каждая точка есть точка локального минимума???(нестрого)

[gris]

Ваша функция нестрого монотонна. Представьте ступеньки, спускающиеся вниз вправо и непрерывные справа. Какова функция в точках двусторонней непрерывности?

[Ania]

Преподаватель сказала,что надо использовать лемму Гейне-Бореля.Это меня запутало окончательно...
А насчет Вашего примера...Я не очень его поняла.Т.е. в точках двусторонней непрерывности?

[gris]

Функция монотонна. А на участках непрерывности постоянна. А у монотонной функции число разрывов счётно.Можно организовать очень симпатичную функцию, у которой разрывы слева в каждой рациональной точке отрезка и которая принимает только рациональные значения. И она в каждой точке имеет локальный нестрогий минимум.

[Ania]

Не могу понять,как это поможет доказательству.Ведь оно должно проводиться в общем случае...А примеров можно привести не один...Ведь константа подходит...И Ваш же пример,но если "лесенка" из полуинтервалов,а то,что могло бы быть их концом,где-то повыше...Я,может,странно выражаюсь,но,правда,очень плохо понимаю,как применить этот пример...

-- Ср мар 31, 2010 21:15:37 --

Хотя...Вы склоняете к идее,что мн-во рац чисел счетно?Но если функция будет иметь другой вид,разве такое док-во допустимо?

[gris]

дело не в рациональных числах, а монотонности.

[ewert]

Дело не в монотонности. А в нестрогой минимальности. К монотонности она вообще отношния не имеет. Никакой монотонности может запросто и не быть.

Задачка, да -- не вполне тривиальна. Выглядит вроде и очевидной, но как формально к ней перейти -- пока не вижу.

[Ania]

Это глупо,но такой вопрос.Такая функция обязана быть ограниченной или все-таки нет?

[id]

Ania

Цитата:

Это глупо,но такой вопрос.Такая функция обязана быть ограниченной или все-таки нет?

По-моему, нет.
Положим её равной $n$ на полуинтервалах $(1-\frac 1 {n-1},1-\frac 1 n]$, в $x=1$ положим $0$.
Ну или что-то в этом духе, идея ясна.

[gris]

Насчёт монотонности глупость написал, но вчера не успел поправить. Возьмём константу на отрезке и опустим из неё отрезок или хотя бы точку. Вот и немонотонность.

[Ania]

Простите,что так надолго пропала.Решение-таки было найдено и даже зачтено.Всем спасибо.Решение принадлежит не мне.Выкладываю:
Пусть Y=f([0,1]). Для каждого y in Y выберем одну точку x(y) in [0,1] такую, что f(x(y))=y. Пусть X={x(y):y in Y}. Очевидно, |X|=|f[0,1]|.
Для каждого x in X найдем r(x)>0 такое, что в (x-r(x),x+r(x)) точка x является минимумом.(Все интервалы на X).
Пусть x,y in X и !x=y. Докажем, что для 0<t<=min{r(x)/2,r(y)/2} множества (x-t,x+t) и (y-t,y+t) имеют пустое пересечение. Действительно, для их общей точки z было бы |x-y|<=|x-z|+|z-y|<=2t<=min{r(x),r(y)}, т.е.x in (y-r(y),y+r(y)) и y in (x-r(x),x+r(x)), поэтому f(x)<=f(y) и f(y)<=f(x),
сл., f(x)=f(y), но это противоречит строению множества X.
Полагаем, Z_n={x in X: r(x)>=1/n}. Для каждого x in Z_n из интервала (x-1/(2*n), x+1/(2*n)) (интервал на отрезке [0,1]) возьмём какую-нибудь рациональную точку.
(Здесь интервал на [0,1]). Как показано выше, что это отбражение Z_n в Q взаимнооднозначно, т.е. Z_n счётно.
Очевидно, что X есть объединение Z_n по всем натуральным n, т.е. X счётно, но |X|=|f[0,1]|.

Спасибо огромное автору.Не называю его,т.к.не знаю,как он к этому отнесется.

[TOTAL]

Ania в сообщении #319151 писал(а):

Докажем, что для 0<t<=min{r(x)/2,r(y)/2} множества (x-t,x+t) и (y-t,y+t) имеют пустое пересечение. Действительно, для их общей точки z было бы |x-y|<=|x-z|+|z-y|<=2t<=min{r(x),r(y)}, т.е.x in (y-r(y),y+r(y)) и y in (x-r(x),x+r(x)), поэтому f(x)<=f(y) и f(y)<=f(x),
сл., f(x)=f(y), но это противоречит строению множества X.
Полагаем, Z_n={x in X: r(x)>=1/n}. Для каждого x in Z_n из интервала (x-1/(2*n), x+1/(2*n)) (интервал на отрезке [0,1]) возьмём какую-нибудь рациональную точку.
(Здесь интервал на [0,1]). Как показано выше, что это отбражение Z_n в Q взаимнооднозначно, т.е. Z_n счётно.
Очевидно, что X есть объединение Z_n по всем натуральным n, т.е. X счётно, но |X|=|f[0,1]|.

Зачем про пустое пересечение и про сопоставление с рациональной точкой.

В Z_n={x in X: 1/(n+1) < r(x)<=1/n} не более (n+1) элементов. Больше ничего и не надо.