Особые точки функции

[evg]

Найти особые точки функции $f(z)=\dfrac {z \cdot \cos(\frac 1 z)}{\cos z - 1}$ и определить их характер.
Особые точки: $z=2 \pi k $ - это полюсы при $k= \pm 1; \pm 2...$. А при $k=0$ получается предел:

$$\lim_{x\to 0}(\dfrac {z \cdot \cos(\frac 1 z)}{\cos z - 1})=\left[ \frac 0 0 \right]$$

Возникает вопрос, как решить этот предел?

[jetyb]

Пролопитировать.

[ewert]

evg в сообщении #304094 писал(а):

Возникает вопрос, как решить этот предел?

Никак. Предел вообще невозможно решить, в принципе невозможно. Но тут даже и не нужно пытаться. Произведение двух функций, у одной из которых в нуле существенно особая точка, а у другой -- полюс, даёт в результате существенно особую точку.

[ИСН]

Это только в ТФКП. А что у клиента, мы не знаем.
(Или у них у всех сейчас ТФКП?)

[ewert]

ИСН в сообщении #304121 писал(а):

А что у клиента, мы не знаем.

Знаем точно. Иначе не появилось бы слово "полюс".

[ИСН]

А, ну да, точно.

[evg]

ИСН в сообщении #304121 писал(а):

Это только в ТФКП. А что у клиента, мы не знаем.

Да, это ТФКП.

ewert в сообщении #304117 писал(а):

Никак. Предел вообще невозможно решить, в принципе невозможно. Но тут даже и не нужно пытаться. Произведение двух функций, у одной из которых в нуле существенно особая точка, а у другой -- полюс, даёт в результате существенно особую точку.

Спасибо! А где можно поподробнее почитать об этом? И это применимо только тогда, когда у одной функции полюс, а у другой существенно особая точка находятся именно в нуле?

[ИСН]

Существенно особая точка - это как то шило в мешке. Что там у другой функции, не очень-то важно.

[ewert]

evg в сообщении #304165 писал(а):

А где можно поподробнее почитать об этом? И это применимо только тогда, когда у одной функции полюс, а у другой существенно особая точка находятся именно в нуле?

Вот честно скажу -- не знаю, где. И с удивлением вдруг обнаружил, что и сам сей факт никому никогда не рассказывал.

Хотя сам по себе факт достаточно тривиален. Предположим, что $\dfrac{f(x)}{g(x)}=h(x)$. В ситуации, когда для $f(x)$ ноль -- это существенная особая точка, а для $g(x)$ -- полюс или просто там устранимая особая точка (т.е., собственно, точка аналитичности -- неважно).

И предположим, что для $h(x)$ ноль -- особая точка не существенная.

Да, но тогда если для $h(x)$ ноль -- полюс или устранимая, то и для $g(x)\cdot h(x)$ -- будет аналогично. Что противоречит существенности этой точки для $f(x)$.

(Ноль как таковой тут, естественно, не при чём -- в этой выкладке его можно заменить на любую особую точку.)