Как проверить наличие экстремума в стационарной точке?

[integral2009]

Дана функция двух переменных $z=f(x,y)$ в области $D$
Допустим мы нашли стационарные точки $(x_i,y_i)$

Как проверить наличие экстремума в этих точках?!

[gris]

По теореме о достаточных условиях строгого экстремума через вторые производные, например.

[integral2009]

То есть должны быть выполнены достаточные условия локального экстремума?!

[gris]

Это достаточные условия. То есть если соответствующая квадратичная форма положительно определена, то....
Ну а если у Вас функция вообще не дифференцируема второй раз, то уж тут другие методы нужны. Но я уверен, что у Ваших функций всё в порядке. Считайте вторые частные производные в стационарных точках, считайте $B^2-AC$ и так далее.

А Вы не про $f(z)=4x^2+y^2-24x+36$ из вчерашней темы?
Так тут вообще всё прекрасно. Стационарная точка одна, очень простая и лежит в четырёхугольнике, функция хорошая.
Теперь надо разобраться с границей. Но заметьте, что функция выпукла вниз.
И область выпукла. То есть на границе возможны только максимумы и только в угловых точках. Тут уж только перебор.

[ewert]

integral2009 в сообщении #303890 писал(а):

Дана функция двух переменных $z=f(x,y)$ в области $D$
Допустим мы нашли стационарные точки $(x_i,y_i)$

Как проверить наличие экстремума в этих точках?!

Если Вам нужно найти максимальное и минимальное значения в области, то проверять на экстремальность вообще не нужно. Достаточно просто перебрать все стационарные точки внутри области, все стационарные на границе и все вершины.

[Профессор Снэйп]

Конкретную функцию давайте --- будут конкретные советы.

[integral2009]

Я про ту вчерашнюю задачу, она уже мне весь мозг съела, пять часов непрерывно ее делал!!! В общем случае - тоже интересно,поэтому тут спросил.... А если точка является стационарной на границе, но в ней частные производные не равны нулю (что весьма меня удивляет), то в ней может быть максимум (минимум)?!!!

[ewert]

integral2009 в сообщении #304100 писал(а):

А если точка является стационарной на границе, но в ней частные производные не равны нулю (что весьма меня удивляет), то в ней может быть максимум (минимум)?!!!

На границе нас должны интересовать не частные производные вообще, но -- лишь вдоль границы.

[integral2009]

А посмотрите, пожалуйста ту тем, я там все оформил нормально!!!!