Отрезок [0;1]. Нормальность

[Lily7]

Добрый вечер! Имеется отрезок [0;1], рассматривается топология, базу которой образуют всевозможные полуинтервалы [a;b).
1.Почему это база?
2. Как доказать что [0;1] нормально? Нормально=регулярно+финально-компактно. Т1 очевидно, а остальное не понятно. Заранее большое спасибо.

[paha]

Lily7 в сообщении #303818 писал(а):

1.Почему это база?

Вспомните характеризацию баз... хотя, Ваша база странная -- ни одно множество не покрывает правый конец. Вы пользуетесь нетрадиционным определением базы, могу только догадываться каким. Либо Вы рассматриваете топологию на $[0;1]$ индуцированную из топологии прямой с базой, состоящей из полуинтервалов.

Lily7 в сообщении #303818 писал(а):

2. Как доказать что [0;1] нормально? Нормально=регулярно+финально-компактно.

Опять странное определение. Традиционно нормальным называется $T_1$-пространство, в котором любые два непересекающихся замкнутых множества содержатся в непересекающихся открытых множествах.

Про нерегулярность трудно говорить с Вашей базой: у правого конца отрезка получается только одна окрестность - весь отрезок, поэтому пространство даже не $T_1$.
Если же топология индуцируется из соответствующей топологии прямой, то любой полуинтервал и открыт и замкнут, откуда регулярность следует практически тривиально.

[Профессор Снэйп]

paha в сообщении #303827 писал(а):

Ваша база странная -- ни одно множество не покрывает правый конец.

Ага. У точки $1$ какие окрестности будут?

[Lily7]

Такая база для отрезка [0;1] вводится при разборе примера нормального финально-компактного пространства, квадрат которого не нормален. Меня саму смутила точка 1. Но там, цитата: На отрезке [0;1] числовой прямой рассмотрим топологию, базу которой образуют всевозможные полуинтервалы [a;b) Семейство таких п/и образует базу топологии, тк оно содержит все свои конечные пересечения и является покрыием(??) Далее доказывается регулярность (Т1 очевидно, а Т3 вып. тк всякий п/и одновременно открыт и замкнут".)

paha, "Если же топология индуцируется из соответствующей топологии прямой", как это понять?

-- Пн мар 29, 2010 11:37:58 --

Вроде с индуцированием из общей топологии разобралась. Но вопрос насчет базы остается. Разве пересечение всех [a;b) покроет Х?

[Lily7]

"Если же топология индуцируется из соответствующей топологии прямой, то любой полуинтервал и открыт и замкнут, откуда регулярность следует практически тривиально" я что то совсем запуталась.
Всегда думала что [a;b) ни открыт ни замкнут:(

[paha]

Lily7 в сообщении #303908 писал(а):

"Если же топология индуцируется из соответствующей топологии прямой, то любой полуинтервал и открыт и замкнут, откуда регулярность следует практически тривиально" я что то совсем запуталась.
Всегда думала что [a;b) ни открыт ни замкнут:(

Соответствующей топологией прямой -- топологией на прямой, базой которой являются полуинтервалы

Учитывая то, что Вы цитируете

Lily7 в сообщении #303870 писал(а):

Далее доказывается регулярность (Т1 очевидно, а Т3 вып. тк всякий п/и одновременно открыт и замкнут".)

имеется ввиду именно эта топология, сиречь топология на $[0;1]$ определяемая базой

$$ {\mathcal B}=\{[0;1]\cap [a;b):a<b\} $$

[Lily7]

да, с этой базой я разобралась. а можно подробнее объяснить док-во регулярности и финальной-компактности? ОГРОМНОЕ Спасибо Вам, paha, за вашу помощь!

-- Пн мар 29, 2010 13:06:17 --

Исправьте если не права. Чтоб доказать Т1 достаточно взять в качестве окрестности х - [0;1]\{y}. Верно?

[paha]

Lily7 в сообщении #303928 писал(а):

Чтоб доказать Т1 достаточно взять в качестве окрестности х - [0;1]\{y}. Верно?

верно

регулярность практически так же

[Lily7]

Если поверить книге и считать [a;b) одновременно открытым и замкнутым ( правда я не совсем понимаю почему так ) тогда я взяла в качестве Ox= {[0;1]\[a;b)}, тогда окрестность [a;b) это он сам, и не пересекается с Ох. Вроде так?

[paha]

Lily7 в сообщении #304262 писал(а):

( правда я не совсем понимаю почему так )

Если $0\le a<b\le $, то
$[a;b)=[0;1]\setminus U$,
где $U$ -- объединение двух открытых в math]$[0;1]$[/math]
множеств $[0;1]\cap [-1;a)$ и $[0;1]\cap [b;2)$

Lily7 в сообщении #304262 писал(а):

тогда окрестность [a;b) это он сам, и не пересекается с Ох

Это так, но не всякое замкнутое множество является полуинтервалом, а Вам надо, чтобы доказательство проходилодля всех замкнутых множеств, не содержащих точку $x$.

[Lily7]

А если тогда в качестве Ox взять [0;1]\{$[0;1]\cap [a;b)$} ?

-- Вт мар 30, 2010 01:33:10 --

По другому не знаю как.:(

[paha]

Lily7 в сообщении #304279 писал(а):

По другому не знаю как.:(

еще раз: в определении регулярности написано "для любого замкнутого множества..." Вы же проверили только для интервалов

Начинать надо так: пусть $F\subset [0;1]$ -- замкнутое множество (не обязательно полуинтервал!) и $x\not\in F$, тогда.....